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Altura de un objeto situado sobre un montículo, desde un terreno horizontal sin obstáculos
Deseamos calcular la altura \(\overline{AB}=x\) de un objeto situado sobre un montículo o punto elevado, desde un terreno horizontal sin obstáculos en el que estamos situados, tal y como se muestra en la figura.
Elegimos un punto \(C\) arbitrario y medimos el ángulo de elevación de \(A\), que llamaremos \(\alpha\). Moviéndonos en el plano determinado por \(A\), \(B\) y \(C\) nos desplazamos hasta un punto \(D\) y medimos \(\overline{CD}=d\), desde donde calculamos los respectivos ángulos de elevación de \(A\) y de \(B\), a los que llamaremos \(\beta\) y \(\gamma\), respectivamente.
El método a seguir consiste en calcular \(\overline{AD}\) en el triángulo \(ACD\) aplicando el teorema de los senos. Téngase en cuenta que en el triángulo \(ACD\) conocemos \(\overline{CD}=d\) y dos ángulos, \(\widehat{ACD}=\alpha\) y \(\widehat{ADC}=180^{\text{o}}-\beta\), lo que significa que también podemos calcular el tercero de los ángulos: \(\widehat{CAD}=180^{\text{o}}-(\alpha+180^{\text{o}}-\beta)=\beta-\alpha\).
\[\frac{\overline{AD}}{\text{sen}\,\widehat{ACD}}=\frac{d}{\text{sen}\,\widehat{CAD}}\Rightarrow\overline{AD}=\frac{d\cdot\text{sen}\,\alpha}{\text{sen}(\beta-\alpha)}\]
Finalmente, con el resultado anterior, se calcula \(x\) en el triángulo \(ABD\) aplicando otra vez el teorema de los senos. En este triángulo conocemos un lado, \(\overline{AD}\) y dos ángulos, \(\widehat{ADB}=\beta-\gamma\) y \(\widehat{DAB}=90^{\text{o}}-\beta\). Al igual que anteriormente esta información permite calcular el tercero de los ángulos: \(\widehat{ABD}=180^{\text{o}}-(\beta-\gamma+90^{\text{o}}-\beta)=90^{\text{o}}+\gamma\).
\[\frac{x}{\text{sen}\,\widehat{ADB}}=\frac{\overline{AD}}{\text{sen}\,\widehat{ABD}}\Rightarrow x=\frac{\overline{AD}\cdot\text{sen}(\beta-\gamma)}{\text{sen}(90^{\text{o}}+\gamma)}\]
- Ejemplo
Una columna está situada sobre un peñón. Desde un punto \(C\) la parte superior de la misma se ve con un ángulo de elevación de \(55^{\text{o}}\). Situándonos en un punto \(D\), 40 metros más cerca, se constata que dicho ángulo de elevación se transforma en \(80^{\text{o}}\) y que el ángulo de elevación a la base de la columna es de \(60^{\text{o}}\). ¿Cuál es la altura de la columna?
Solución
Si nos fijamos en la figura anterior, los datos que proporciona el enunciado del problema son los siguientes. \(\alpha=55^{\text{o}}\), \(\beta=80^{\text{o}}\), \(\gamma=60^{\text{o}}\) y \(d=40\) metros. Entonces, en el triángulo \(ACD\) tenemos:
\[\overline{AD}=\frac{d\cdot\text{sen}\,\alpha}{\text{sen}(\beta-\alpha)}=\frac{40\cdot\text{sen}\,55^{\text{o}}}{\text{sen}\,25^{\text{o}}}\approxeq77,53\]
Por tanto, en el triángulo \(ABD\):
\[x=\frac{\overline{AD}\cdot\text{sen}(\beta-\gamma)}{\text{sen}(90^{\text{o}}+\gamma)}=\frac{77.53\cdot\text{sen}\,20^{\text{o}}}{\text{sen}\,150^{\text{o}}}\approxeq53,03\]
Es decir, la altura \(\overline{AB}\) de la columna es, aproximadamente, 53,03 metros.
