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Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno inclinado sin obstáculos
Deseamos calcular la altura \(\overline{AB}=x\) de un punto de pie inaccesible desde un terreno inclinado, tal y como se muestra en la figura.
Sea \(\gamma\) el ángulo de inclinación del terreno. Nos situamos en un punto \(C\) y calculamos el ángulo de elevación de \(A\), que lo llamaremos \(\alpha\). Sobre el plano que contiene el triángulo \(ABC\) medimos la distancia \(\overline{CE}=d\) y desde \(E\) volvemos a calcular el ángulo de elevación de \(A\), que llamaremos \(\beta\).
El método a seguir consiste en calcular \(overline{AC}\) en el triángulo \(ACE\) y a partir de aquí calcular \(x\) en el triángulo \(ABC\). Por un lado está claro que \(\widehat{ACE}=\alpha-\gamma\), y por otro que \(\widehat{CAE}=\beta-\alpha\). Esto último está menos claro. Veamos la demostración:
\[\widehat{CAE}=\widehat{CAB}-\widehat{DAB}=(90^{\text{o}}-\alpha)-(90^{\text{o}}-\beta)=\beta-\alpha\]
Obsérvese que con estos dos ángulos también se puede calcular el ángulo \(\widehat{CAE}\):
\[\widehat{CEA}=180^{\text{o}}-\widehat{ACE}-\widehat{CAE}=180^{\text{o}}-(\alpha-\gamma)-(\beta-\alpha)=180^{\text{o}}+\gamma-\beta\]
Ahora aplicamos el teorema de los senos en el triángulo \(ACE\):
\[\frac{\overline{AC}}{\text{sen}\,\widehat{CEA}}=\frac{d}{\text{sen}\,\widehat{CAE}}\Rightarrow\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,(180^{\text{o}}+\gamma-\beta)}{\text{sen}\,(\beta-\alpha)}\]
Finalmente, en el triángulo \(ABC\) se tiene:
\[\text{sen}\,\alpha=\frac{x}{\overline{AC}}\Rightarrow x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha\]
- Ejemplo
El ángulo de elevación de una peña \(\overline{AB}\) mide \(47^{\text{o}}\). Después de caminar 1000 metros hacia ella, subiendo una pendiente inclinada \(32^{\text{o}}\) respecto de la horizontal, su ángulo de elevación es de \(77^{\text{o}}\). Hallar la altura de la peña con respecto al plano horizontal de la primera observación.
Solución
Llamemos \(x=\overline{AB}\) a la altura de la peña. En este caso tenemos que \(\alpha=47^{\text{o}}\), \(\beta=77^{\text{o}}\), \(\gamma=32^{\text{o}}\) y \(d=1000\). De los datos anteriores obtenemos los necesarios para aplicar la fórmula vista anteriormente: \(\widehat{CAE}=\beta-\alpha=77^{\text{o}}-47^{\text{o}}=30^{\text{o}}\), \(\widehat{CEA}=180^{\text{o}}+\gamma-\beta=180^{\text{o}}+32^{\text{o}}-77^{\text{o}}=135^{\text{o}}\).
\[\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,(180^{\text{o}}+\gamma-\beta)}{\text{sen}\,(\beta-\alpha)}=\frac{1000\cdot\text{sen}\,135^{\text{o}}}{\text{sen}\,30^{\text{o}}}\approxeq1414,21\]
Por tanto:
\[x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,47^{\text{o}}\approxeq1034,29\]
Es decir, la altura de la peña es de, aproximadamente, 1034,29 metros.
