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Unidades didácticas de Matemáticas II

1. Límites de funciones. Continuidad

Límite de una función en un punto o en el infinito. Reglas básicas para el cálculo de límites. Resolución de indeterminaciones. La regla de L’Hôpital. Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades. Continuidad de una función en un intervalo. El teorema de Bolzano. Consecuencias del teorema de Bolzano.

2. Derivadas

Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada. Función derivada. Derivadas sucesivas. Reglas de derivación. Derivada de las funciones elementales. Derivación logarítmica. Derivación de funciones en forma implícita. Monotonía y extremos relativos de una función. Curvatura. Puntos de inflexión. Optimización de funciones. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio.

3. Representación gráfica de funciones

Elementos fundamentales para la construcción de curvas. Dominio de definición de una función. Continuidad y derivabilidad. Simétrías. Periodicidad. Ramas infinitas. Asíntotas. Puntos de interés en la representación de funciones: puntos de tangente horizontal (singulares o críticos), puntos de corte con los ejes, puntos de inflexión, El valor absoluto en la representación de funciones. Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas. Estudio y representación gráfica de funciones racionales. Representación de otro tipo de funciones.

4. Integral indefinida. Cálculo de primitivas

Primitivas. Integral indefinida. Integrales inmediatas: integrales de funciones definidas mediante potencias, integrales exponenciales y logarítmicas, integrales trigonométricas. Otras integrales inmediatas más generales. Métodos de integración: método de integración por sustitución o por cambio de variable, método de integración por partes. Integración de funciones racionales.

Estos apuntes contienen 65 integrales completamente resueltas.

Por otro lado, si haces clic aquí puedes descargar unos apuntes muy bien explicados sobre el proceso de completar cuadrados, útiles para resolver integrales tipo arcotangente, además de un esquema básico para la integración de funciones racionales.

5. Integral definida. Cálculo de áreas

Integral definida. Regla de Barrow para el cálculo de integrales definidas. Área de un recinto limitado por la gráfica de una función, un par de rectas verticales y el eje \(X\). Cálculo de áreas de recintos planos: distintos casos que se pueden presentar.

Para saber más puedes acceder al curso de integral definida en 6 lecciones.

6. Matrices

Definición de matriz. Igualdad de matrices. Matriz traspuesta de una matriz. Matriz cuadrada y tipos de matrices cuadradas: simétricas, triangulares y digonales. Operaciones con matrices: producto de un número real por una matriz, suma de matrices, producto de matrices. Propiedades de las operaciones con matrices. Matriz unidad o identidad. Matriz inversa de una matriz cuadrada. Reflexiones sobre el significado de la inversa de una matriz. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa de una matriz.

7. Determinantes

Definición de determinante de una matriz cuadrada. Determinantes de orden dos y de orden tres. Regla de Sarrus. Propiedades de los determinantes. Submatrices y menores. Menor complementario y adjunto. Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o de una columna. Rango de una matriz. Propiedades del rango de una matriz. Método para hallar el rango de una matriz a partir de sus menores. Cálculo de la inversa de una matriz. Ecuaciones matriciales.

8. Sistemas de ecuaciones lineales

Concepto de ecuación lineal y de sistema de ecuaciones lineales. Ecuaciones equivalentes y sistemas de ecuaciones equivalentes. Transformaciones en un sistema de ecuaciones. Clasificación de los sistemas según su número de soluciones. Sistemas escalonados. Matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones. Método de Gauss para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Discusión de sistemas dependientes de un parámetro. La regla de Cramer. El teorema de Rouché. Sistemas lineales homogéneos. Uso del teorema de Rouché para discutir un sistema de ecuaciones lineales. Eliminación de parámetros.

9 y 10. Vectores en el espacio. Rectas y planos en el espacio. Problemas métricos.

Coordenadas o componentes de un vector. División de un segmento en \(n\) partes iguales. Vector director de una recta y ecuaciones de la recta. Ecuaciones de un plano. Posiciones relativas de dos rectas. Posiciones relativas de una recta y un plano. Posiciones relativas de dos planos. Ecuaciones implícitas de una recta. Haz de planos. Producto escalar de dos vectores. Producto vectorial de dos vectores. Producto mixto de tres vectores. Ángulo de dos vectores. Vector perpendicular a un plano. Ángulo de dos rectas. Ángulo de dos planos. Ángulo de recta y plano. Distancia entre dos puntos. Ecuación normal de un plano. Distancia de un punto a un plano. Distancia entre dos planos paralelos. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre una recta y un plano paralelos. Distancia entre dos rectas paralelas. Distancia entre dos rectas que se cruzan. Área de un triángulo. Área de un paralelogramo. Volumen de un tetraedro. Volumen de un paralelepípedo.

11. Probabilidad

Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Los sucesos. Operaciones con sucesos: unión, intersección, diferencia. Las leyes de Morgan y otras propiedades. Probabilidad: regla de Laplace. Definición axiomática de probabilidad. Experimentos compuestos. Diagramas de árbol. Probabilidad condicionada. Probabilidad de la intersección de sucesos. Independencia de sucesos. Probabilidad total. El teorema de Bayes. 

12. Distribuciones binomial y normal

Variables aleatorias. Tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. Distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas. Parámetros de una variable aleatoria discreta. El experimento binomial. La distribución binomial. Distribución de probabilidad para variables aleatorias continuas. Parámetros de una variable aleatoria continua. La distribución normal. Distribución normal estándar. Tipificación de la variable. Aplicaciones de la distribución normal. Teorema central del límite. Aproximación de la binomial a la normal. Corrección por continuidad.