Una integral racional más elaborada

En este artículo vamos a calcular una primitiva de la función \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3-1}{x^3+1}\). Es decir, calcularemos la siguiente integral indefinida:

\[\int\frac{x^3-1}{x^3+1}\,dx\]

Empecemos por descomponer la integral en otras dos:

\[\int\frac{x^3-1}{x^3+1}\,dx= \int\frac{x^3+1-2}{x^3+1}\,dx= \int\left(\frac{x^3+1}{x^3+1}-\frac{2}{x^3+1}\right)\,dx=\]

\[\int1\,dx-\int\frac{2}{x^3+1}\,dx=x-2\int\frac{1}{x^3+1}\,dx\]

Ahora vamos a dedicar nuestro esfuerzo a la resolución de \(\displaystyle\int\frac{1}{x^3+1}\,dx\).

Para ello, lo primero es darse cuenta de que \(-1\) es una raíz del polinomio \(x^3+1\). Por tanto, haciendo uso, por ejemplo, de la regla de Ruffini, podemos escribir:

\[x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\]

Es fácil comprobar, además, que el polinomio \(x^2-x+1\) no tiene raíces enteras.

Ahora vamos a descomponer la fracción \(\displaystyle\frac{1}{x^3+1}\) en otras dos. Del siguiente modo:

\[ \frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Mx+N}{x^2-x+1}\]

Para hallar los valores de \(A\), \(M\) y \(N\), operaremos e igualaremos los numeradores:

\[ \frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Mx+N}{x^2-x+1}=\frac{A(x^2-x+1)+(Mx+N)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow A(x^2-x+1)+(Mx+N)(x+1) =1\]

Si en la igualdad anterior hacemos \(x=-1\), resulta que

\[3A=1\Rightarrow A=\frac{1}{3}\]

Para \(x=0\) tenemos:

\[A+N=1\Rightarrow N=1-A=1-\frac{1}{3}\Rightarrow N=\frac{2}{3}\]

Finalmente, vamos a hacer \(x=1\):

\[A+(M+N)2=1\Rightarrow2M+2N+A=1\Rightarrow2M=1-2N-A\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2M=1-\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\Rightarrow2M=-\frac{2}{3}\Rightarrow M=-\frac{1}{3}\]

Entonces:

\[\int\frac{1}{x^3+1}\,dx=\int\frac{\frac{1}{3}}{x+1}\,dx+\int\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2-x+1}\,dx=\]

\[=\frac{1}{3}\ln(x+1)-\frac{1}{3}\int\frac{x-2}{x^2-x+1}\,dx\]

Resumamos lo que hemos hecho hasta ahora:

\[\int\frac{x^3-1}{x^3+1}\,dx= x-2\int\frac{1}{x^3+1}\,dx=\]

\[=x-2\left(\frac{1}{3}\ln(x+1)-\frac{1}{3}\int\frac{x-2}{x^2-x+1}\right)\,dx=\]

\[=x-\frac{2\ln(x+1)}{3}+\frac{2}{3}\int\frac{x-2}{x^2-x+1}\,dx\]

Ahora calcularemos la siguiente integral:

\[\int\frac{x-2}{x^2-x+1}\,dx\]

Puesto que \(x^2-x+1\) no tiene raíces reales esta es una integral «tipo logaritmo más arcotangente». Para hacerla hemos de hacer algún que otro retoque.

\[\int\frac{x-2}{x^2-x+1}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-4}{x^2-x+1}\,dx= \frac{1}{2}\int\frac{2x-1-3}{x^2-x+1}\,dx=\]

\[=\frac{1}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\,dx-\frac{3}{2}\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx=\]

\[=\frac{1}{2}\ln(x^2-x+1)-\frac{3}{2}\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx \]

La integral \(\displaystyle \int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx \) es tipo arcotangente:

\[ \int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx=\int\frac{1}{x-2x\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}\,dx= \int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx=\]

\[=\int\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1}\,dx= \frac{4}{3}\int\frac{1}{\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]^2+1}\,dx=\]

\[=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]^2+1}\,dx=\frac{2\sqrt{3}}{3}\text{arctg}\,\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\]

Bueno, pues ya está. Así que recopilemos:

\[\int\frac{x^3-1}{x^3+1}\,dx=x-\frac{2\ln(x+1)}{3}+\frac{2}{3}\int\frac{x-2}{x^2-x+1}\,dx=\]

\[= x-\frac{2\ln(x+1)}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\ln(x^2-x+1)-\frac{3}{2}\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx\right) \]

\[ = x-\frac{2\ln(x+1)}{3} +\frac{\ln(x^2-x+1)}{3}- \frac{2\sqrt{3}}{3}\text{arctg}\,\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C\]