Una integral de apariencia “inocente”

Se trata de calcular la primitiva de la función \(\dfrac{1}{\text{sen}\,x}\), o lo que es lo mismo, la siguiente integral indefinida:

\[\int \frac{1}{\text{sen}\,x}\,dx \]

Primer método

Haremos uso del cambio de variable \(\text{sen}\,x=t\). De aquí, derivando obtenemos:

\[\cos x\,dx=dt\Rightarrow dx=\frac{dt}{\cos x}=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\]

En la última igualdad hemos usado la fórmula fundamental de la trigonometría:

\[\text{sen}^2x+\cos^2x=1\Rightarrow\cos^2x=1-\text{sen}^2x\Rightarrow\cos^2 x=1-t^2\Rightarrow \cos x=\sqrt{1-t^2}\]

De este modo:

\[ \int \frac{1}{\text{sen}\,x}\,dx=\int\frac{1}{t}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\int\frac{1}{t\sqrt{1-t^2}}\,dt \]

Ahora vamos a realizar otro cambio de variable. Llamaremos \(1-t^2=s^2\). De aquí es fácil deducir que \(t^2=1-s^2\), es decir, \(t=\sqrt{1-s^2}\).

Además, derivando la expresión \(1-t^2=s^2\), obtenemos:

\[-2t\,dt=2s\,ds\Rightarrow-t\,dt=s\,ds\Rightarrow dt=\frac{s\,ds}{-t}=\frac{s\,ds}{-\sqrt{1-s^2}}\]

Entonces:

\[ \int\frac{1}{t\sqrt{1-t^2}}\,dt=\int\frac{1}{\sqrt{1-s^2}\sqrt{s^2}}\frac{s\,ds}{-\sqrt{1-s^2}}=\int\frac{s\,ds}{-s\left(1-s^2\right)}=\]

\[\int\frac{1}{s^2-1}\,ds=\int\frac{1}{(s+1)(s-1)}\,ds\]

Esta última integral es racional.

\[\frac{1}{(s+1)(s-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{s-1}=\frac{A(s-1)+B(s+1)}{(s+1)(s-1)} \Rightarrow1=A(s-1)+B(s+1) \]

En esta última igualdad, si \(s=-1\) obtenemos \(1=-2A\) y entonces \(A=-\frac{1}{2}\). Por otro lado, si \(s=1\) obtenemos \(1=2B\), es decir, \(B=\dfrac{1}{2}\). Entonces:

\[\int\frac{1}{(s+1)(s-1)}\,ds=\int\frac{-1/2}{s+1}\,ds+\int\frac{1/2}{s-1}\,ds=-\frac{1}{2}\ln(s+1)+\frac{1}{2}\ln(s-1)+C=\]

\[=\frac{1}{2}\left(\ln(s-1)-\ln(s+1)\right)+C=\frac{1}{2}\ln\frac{s-1}{s+1}+C=\ln\left(\frac{s-1}{s+1}\right)^{1/2}=\ln\sqrt{\frac{s-1}{s+1}}+C\]

Deshagamos finalmente los cambios. Puesto que \(1-t^2=s^2\), entonces \(s=\sqrt{1-t^2}\). Pero es que, además, en el primer cmabio habíamos visto que \(\cos x=\sqrt{1-t^2}\), con lo que \(s=cos x\). Por tanto:

\[ \int \frac{1}{\text{sen}\,x}\,dx=\ln\sqrt{\frac{s-1}{s+1}}+C=\ln\sqrt{\frac{\cos x-1}{\cos x +1}}+C=\]

\[=\ln\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}+C=\ln\left(\text{tg}\,\frac{x}{2}\right)+C\]

En la última igualdad se ha usado la fórmula de la tangente del ángulo mitad:

\[\text{tg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}\]

Segundo método

Usaremos solamente un cambio de variable: llamaremos \(x=2t\) Derivando: \(dx=2\,dt\). Además, usaremos la fórmula del seno del ángulo doble: \(\text{sen}\,2t=2\text{sen}\,t\cos t\). También haremos uso de la fórmula fundamental de la trigonometría: \(\text{sen}^2t+\cos^2t=1\).

\[ \int \frac{1}{\text{sen}\,x}\,dx=\int \frac{1}{\text{sen}\,2t}\,2\,dt= \int \frac{1}{\text{sen}\,t\cos t}\,dt=\int \frac{ \text{sen}^2t+\cos^2t}{ \text{sen}\,t\cos t }\,dt= \]

\[\int\frac{\text{sen}^2t}{\text{sen}\,t\cos t}\,dt+\int\frac{\cos^2t}{ \text{sen}\,t \cos t}=\int\frac{ \text{sen}\,t }{\cos t}\,dt+\int\frac{\cos t}{ \text{sen}\,t }\,dt=\]

\[=-\int\frac{-\text{sen}\,t }{\cos t}\,dt+\int\frac{\cos t}{ \text{sen}\,t }\,dt=-\ln(\cos t)+\ln(\text{sen}\, t)+C=\]

\[=\ln\frac{\text{sen}\,t}{\cos t}+C=\ln( \text{tg}\,t )+C=\ln\left( \text{tg}\frac{x}{2} \right)+C\]

Hemos usado al final que, al ser \(x=2t\), entonces \(t=\dfrac{x}{2}\).

Este segundo método es mucho más rápido que el anterior, aunque el cambio de variable no es tan intuitivo como los usados en el método anterior. La fórmula fundamental de la trigonometría, las fórmulas del seno y del coseno del ángulo doble, así como otras fórmulas trigonométricas dan mucho juego en el cálculo integral.

Finalmente, cabe destacar que esta integral, al igual que cualquier otra función racional de \(\text{sen}\,x\), \(\cos x\) o \(\text{tg}\,x\) , también se puede hacer usando un cambio de variable común: \( \text{tg}\dfrac{x}{2}=t\). En este artículo se detalla la forma de proceder.