Una integral con radicales

Calcular la siguiente integral:

\[\int{\frac{{\sqrt x dx}}{{\sqrt[3]{x} – 1}}}\]

Vamos a realizar el cambio de variable \(x=t^6\).

\[\int {\frac{{\sqrt x dx}}{{\sqrt[3]{x} – 1}} = \left[ {x = {t^6} \Rightarrow dx = 6{t^5}dt} \right]} =\]

\[= \int {\frac{{\sqrt {{t^6}} 6{t^5}dt}}{{\sqrt[3]{{{t^6}}} – 1}} = } \int {\frac{{{t^3}6{t^5}dt}}{{{t^2} – 1}} = } \int {\frac{{6{t^8}dt}}{{{t^2} – 1}} = } 6\int {\frac{{{t^8}}}{{{t^2} – 1}}dt =}\,\textbf{(1)}\]

Efectuando la división se tiene que

\[{t^8} = \left( {{t^2} – 1} \right)\left( {{t^6} + {t^4} + {t^2} + 1} \right) + 1 \Rightarrow \frac{{{t^8}}}{{{t^2} – 1}} = {t^6} + {t^4} + {t^2} + 1 + \frac{1}{{{t^2} – 1}}\]

Entonces:

\[ \textbf{(1)}\, = 6\int {\left( {{t^6} + {t^4} + {t^2} + 1} \right)dt + 6\int {\frac{1}{{{t^2} – 1}}dt = } } \]

\[=\frac{{6{t^7}}}{7} + \frac{{6{t^5}}}{5} + \frac{{6{t^3}}}{3} + 6t + 6\int {\frac{1}{{{t^2} – 1}}dt} = \,\textbf{(2)} \]

Hagamos ahora la última integral, que es racional.

\[\int {\frac{1}{{{t^2} – 1}}dt = \int {\frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t – 1} \right)}}dt = } } \]

\[=\int\frac{-1/2}{t+1}\,dt+\int\frac{1/2}{t-1}\,dt= – \frac{1}{2}\ln \left( {t + 1} \right) + \frac{1}{2}\ln \left( {t – 1} \right) + C\]

Hemos utilizado que

\[\frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t – 1} \right)}} = \frac{A}{{t + 1}} + \frac{B}{{t – 1}} = \frac{{A\left( {t – 1} \right) + B\left( {t + 1} \right)}}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t – 1} \right)}}\]

Hay que tener en cuenta que si \(t = 1 \Rightarrow 2B = 1 \Rightarrow B = \frac{1}{2}\). Y también que si \(t = – 1 \Rightarrow – 2A = 1 \Rightarrow A = – \frac{1}{2}\). Por tanto:

\[ \textbf{(2)} \, = \frac{{6{t^7}}}{7} + \frac{{6{t^5}}}{5} + \frac{{6{t^3}}}{3} + 6t – \frac{6}{2}\ln \left( {t + 1} \right) + \frac{6}{2}\ln \left( {t – 1} \right) + C = \,\textbf{(3)} \]

Ahora deshacemos el cambio. Como \(x=t^6\), se tiene que \(\sqrt[6]{x} = t\). Por tanto, finalmente:

\[ \textbf{(3)}\, = \frac{{6\sqrt[6]{{{x^7}}}}}{7} + \frac{{6\sqrt[6]{{{x^5}}}}}{5} + \frac{{6\sqrt[6]{{{x^3}}}}}{3} + 6\sqrt[6]{x} – \frac{6}{2}\ln \left( {\sqrt[6]{x} + 1} \right) + \frac{6}{2}\ln \left( {\sqrt[6]{x} – 1} \right) + C = \]

\[= \frac{{6\sqrt[6]{{{x^7}}}}}{7} + \frac{{6\sqrt[6]{{{x^5}}}}}{5} + 2\sqrt x + 6\sqrt[6]{x} – 3\ln \left( {\sqrt[6]{x} + 1} \right) + 3\ln \left( {\sqrt[6]{x} – 1} \right) + C\]