Un ejercicio de distribución normal

El siguiente es un ejercicio de probabilidad, en concreto un ejercicio sobre la distribución normal de probabilidad. Puedes hacer clic en los siguientes enlaces para los aspectos teóricos:

• Distribuciones binomial y normal.
• Presentación sobre la distribución normal.

Antes de enunciar el ejercicio de distribución normal vamos a hacer algunas consideraciones.

Si \(X\) es una variable aleatoria normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\), el percentil de orden \(k\) (que lo llamaremos \(p_k\)) es el valor de la variable por debajo del cual se encuentra un porcentaje del \(k\) %.

Simbólicamente, \(P(X\leq p_k)=\dfrac{k}{100}\).

Obsérvese que, como \(k\) es un porcentaje, la probabilidad de que el valor de la variable esté por debajo de \(p_k\) es \(\frac{k}{100}\), ya que la probabilidad toma valores comprendidos entre \(0\) y \(1\).

Gráficamente se puede representar así:

Enunciado del ejercicio

Se sabe que el percentil 37 de una distribución normal de varianza 83 es igual a 65. ¿Cuál es su media? Si el número de individuos que la integran es 906, ¿cuántos tienen entre 48 y 74 puntos?

Solución

En este caso es \(p_{37}=65\). Por tanto,

\[P\left( {X \le {p_{37}}} \right) = \frac{{37}}{{100}} \Rightarrow P\left( {X \le 65} \right) = 0,37\]

Puesto que la varianza es igual a 83, la desviación típica de la variable es \(\sigma=\sqrt{83}=9,11\).

Tipificando la variable, es decir, haciendo el cambio \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\), convertimos la variable a una normal estándar o tipificada: \(Z\rightarrow N\left(0,1\right)\). De este modo:

\[P\left( {X \le 65} \right) = 0,37 \Rightarrow P\left( {Z \le \frac{{65 – \mu }}{{9,11}}} \right) = 0,37\]

Ahora es muy importante darse cuenta de una cosa. Puesto que la gráfica de la distribución normal estándar divide al eje \(Y\), o eje de ordenadas, en dos partes simétricas del mismo área, el área (probabilidad) que queda a la izquierda (o por debajo) de \(0\) es igual a \(0,5\): \(P\left(Z\leq0\right)=0,5\). Este es el primer valor que aparece en la tabla de la normal estándar o tipificada (ver figura siguiente).

Como nuestra probabilidad es igual a \(0,37\), deducimos que el valor de \(\frac{65-\mu}{\sigma}\) es negativo (hay que insistir en que darse cuenta de esta situación es muy importante para resolver el problema). Gráficamente se puede representar así:

Y como la probabilidad de «estar por debajo» de un negativo es la misma de la de “estar por encima” del correspondiente positivo tenemos que:

\[P\left( {Z \le \frac{{65 – \mu }}{{9,11}}} \right) = 0,37 \Rightarrow P\left( {Z \ge – \frac{{65 – \mu }}{{9,11}}} \right) = 0,37 \Rightarrow\]

\[ \Rightarrow P\left( {Z \ge \frac{{\mu – 65}}{{9,11}}} \right) = 0,37\]

Finalmente, como la probabilidad de estar “por encima” de un positivo es “uno menos la de estar por debajo”:

\[P\left( {Z \ge \frac{{\mu – 65}}{{9,11}}} \right) = 0,37 \Rightarrow 1 – P\left( {Z \le \frac{{\mu – 65}}{{9,11}}} \right) = 0,37 \Rightarrow\]

\[ \Rightarrow P\left( {Z \le \frac{{\mu – 65}}{{9,11}}} \right) = 0,63\]

Ahora, mirando en la tabla de la distribución normal estándar:

\[\frac{{\mu – 65}}{{9,11}} = 0,33 \Rightarrow \mu – 65 = 3 \Rightarrow \mu = 68\]

Nota: obsérvese que, al mirar en la tabla, la probabilidad \(0,6293\) está más cerca de \(0,63\) que la probabilidad \(0,6331\). Por eso podemos estimar que \(P(Z\leq0,33)=0,63\). Esta es la razón por la que anteriormente hemos deducido que \(\frac{\mu-65}{9,11}=0,33\).

Para contestar a la siguiente pregunta procedemos de la siguiente manera:

\[P\left( {48 \le X \le 74} \right) = P\left( {\frac{{48 – 68}}{{9,11}} \le Z \le \frac{{74 – 68}}{{9,11}}} \right) = \]

\[=P\left( { – 2,195 \le Z \le 0,66} \right) = P\left( {Z \le 0,66} \right) – P\left( {Z \le – 2,195} \right) = \]

\[=P\left( {Z \le 0,66} \right) – P\left( {Z \ge 2,195} \right) = P\left( {Z \le 0,66} \right) – \left[ {1 – P\left( {Z \le 2,195} \right)} \right] = \]

\[=P\left( {Z \le 0,66} \right) + P\left( {Z \le 2,195} \right) – 1 = 0,7454 + 0,9859 – 1 = 0,7313\]

De lo anterior se deduce que el 73,13 % de los individuos tienen una puntuación entre 48 y 74 años. Como el número de individuos que la integran la distribución es 906, y el 73,13 por ciento de 906 es \(\frac{{73,13 \cdot 906}}{{100}} = 662,5578\), podemos estimar (redondeando al correspondiente número entero) que 663 individuos tienen entre 48 y 74 puntos.

Nota: por un lado \(P\left( {Z \le 2,19} \right) = 0,9857\) y, por otro, \(P\left( {Z \le 2,20} \right) = 0,9861\). Además, como \(2,195\) es justo la mitad de \(2,19\) y \(2,20\), hemos tomado como valor de \(P\left( {Z \le 2,195} \right)\) la media de los dos anteriores:

\[P\left( {Z \le 2,195} \right) = \frac{{0,9857 + 0,9861}}{2} = 0,9859\]

Esto se hace con mucha frecuencia al calcular probabilidades usando la tabla de la distribución normal estándar o tipificada.