El siguiente es un ejercicio de probabilidad, en concreto un ejercicio sobre la distribución normal de probabilidad. Puedes hacer clic en los siguientes enlaces para los aspectos teóricos:
Antes de enunciar el ejercicio de distribución normal vamos a hacer algunas consideraciones.
Si \(X\) es una variable aleatoria normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\), el percentil de orden \(k\) (que lo llamaremos \(p_k\)) es el valor de la variable por debajo del cual se encuentra un porcentaje del \(k\) %.
Simbólicamente, \(P(X\leq p_k)=\dfrac{k}{100}\).
Obsérvese que, como \(k\) es un porcentaje, la probabilidad de que el valor de la variable esté por debajo de \(p_k\) es \(\frac{k}{100}\), ya que la probabilidad toma valores comprendidos entre \(0\) y \(1\).
Gráficamente se puede representar así:

Enunciado del ejercicio
Se sabe que el percentil 37 de una distribución normal de varianza 83 es igual a 65. ¿Cuál es su media? Si el número de individuos que la integran es 906, ¿cuántos tienen entre 48 y 74 puntos?
Solución
En este caso es \(p_{37}=65\). Por tanto,
\[P\left( {X \le {p_{37}}} \right) = \frac{{37}}{{100}} \Rightarrow P\left( {X \le 65} \right) = 0,37\]
Puesto que la varianza es igual a 83, la desviación típica de la variable es \(\sigma=\sqrt{83}=9,11\).
Tipificando la variable, es decir, haciendo el cambio \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\), convertimos la variable a una normal estándar o tipificada: \(Z\rightarrow N\left(0,1\right)\). De este modo:
\[P\left( {X \le 65} \right) = 0,37 \Rightarrow P\left( {Z \le \frac{{65 – \mu }}{{9,11}}} \right) = 0,37\]
Ahora es muy importante darse cuenta de una cosa. Puesto que la gráfica de la distribución normal estándar divide al eje \(Y\), o eje de ordenadas, en dos partes simétricas del mismo área, el área (probabilidad) que queda a la izquierda (o por debajo) de \(0\) es igual a \(0,5\): \(P\left(Z\leq0\right)=0,5\). Este es el primer valor que aparece en la tabla de la normal estándar o tipificada (ver figura siguiente).

Como nuestra probabilidad es igual a \(0,37\), deducimos que el valor de \(\frac{65-\mu}{\sigma}\) es negativo (hay que insistir en que darse cuenta de esta situación es muy importante para resolver el problema). Gráficamente se puede representar así:

Y como la probabilidad de «estar por debajo» de un negativo es la misma de la de “estar por encima” del correspondiente positivo tenemos que:
\[P\left( {Z \le \frac{{65 – \mu }}{{9,11}}} \right) = 0,37 \Rightarrow P\left( {Z \ge – \frac{{65 – \mu }}{{9,11}}} \right) = 0,37 \Rightarrow\]
\[ \Rightarrow P\left( {Z \ge \frac{{\mu – 65}}{{9,11}}} \right) = 0,37\]
Finalmente, como la probabilidad de estar “por encima” de un positivo es “uno menos la de estar por debajo”:
\[P\left( {Z \ge \frac{{\mu – 65}}{{9,11}}} \right) = 0,37 \Rightarrow 1 – P\left( {Z \le \frac{{\mu – 65}}{{9,11}}} \right) = 0,37 \Rightarrow\]
\[ \Rightarrow P\left( {Z \le \frac{{\mu – 65}}{{9,11}}} \right) = 0,63\]
Ahora, mirando en la tabla de la distribución normal estándar:
\[\frac{{\mu – 65}}{{9,11}} = 0,33 \Rightarrow \mu – 65 = 3 \Rightarrow \mu = 68\]
Nota: obsérvese que, al mirar en la tabla, la probabilidad \(0,6293\) está más cerca de \(0,63\) que la probabilidad \(0,6331\). Por eso podemos estimar que \(P(Z\leq0,33)=0,63\). Esta es la razón por la que anteriormente hemos deducido que \(\frac{\mu-65}{9,11}=0,33\).
Para contestar a la siguiente pregunta procedemos de la siguiente manera:
\[P\left( {48 \le X \le 74} \right) = P\left( {\frac{{48 – 68}}{{9,11}} \le Z \le \frac{{74 – 68}}{{9,11}}} \right) = \]
\[=P\left( { – 2,195 \le Z \le 0,66} \right) = P\left( {Z \le 0,66} \right) – P\left( {Z \le – 2,195} \right) = \]
\[=P\left( {Z \le 0,66} \right) – P\left( {Z \ge 2,195} \right) = P\left( {Z \le 0,66} \right) – \left[ {1 – P\left( {Z \le 2,195} \right)} \right] = \]
\[=P\left( {Z \le 0,66} \right) + P\left( {Z \le 2,195} \right) – 1 = 0,7454 + 0,9859 – 1 = 0,7313\]
De lo anterior se deduce que el 73,13 % de los individuos tienen una puntuación entre 48 y 74 años. Como el número de individuos que la integran la distribución es 906, y el 73,13 por ciento de 906 es \(\frac{{73,13 \cdot 906}}{{100}} = 662,5578\), podemos estimar (redondeando al correspondiente número entero) que 663 individuos tienen entre 48 y 74 puntos.
Nota: por un lado \(P\left( {Z \le 2,19} \right) = 0,9857\) y, por otro, \(P\left( {Z \le 2,20} \right) = 0,9861\). Además, como \(2,195\) es justo la mitad de \(2,19\) y \(2,20\), hemos tomado como valor de \(P\left( {Z \le 2,195} \right)\) la media de los dos anteriores:
\[P\left( {Z \le 2,195} \right) = \frac{{0,9857 + 0,9861}}{2} = 0,9859\]
Esto se hace con mucha frecuencia al calcular probabilidades usando la tabla de la distribución normal estándar o tipificada.