Triángulo equilátero inscrito en un círculo

En un círculo se inscribe un triángulo equilátero de área 12 unidades cuadradas. ¿Cuál es el área de la región sombreada de azul?

Os aseguro que no es difícil. Con algo de imaginación, el área del triángulo, el área del círculo y ¡Pitágoras!, se puede dar con la solución.

De todas maneras puedes ver la solución aquí

De todas maneras puedes ver la solución aquí

El triángulo \(ABC\), de área \(12\), se puede dividir en tres triángulos iguales: \(AOB\), \(AOC\) y \(BOC\) de área \(4\) cada uno de ellos. El triángulo \(BOD\) tendrá pues área \(2\) por ser justo la mitad del triángulo \(BOC\).

Si llamamos \(l\) al lado del triángulo \(ABC\) su área será:

\[\frac{l\cdot(r+r/2)}{2}=\frac{l\cdot(3r/2)}{2}=\frac{3lr}{4}\]

Obsérvese que su altura es \(r+\dfrac{r}{2}\) pues \(BOD\) y \(BED\) también son triángulos iguales. Así pues:

\[\frac{3lr}{4}=12\Rightarrow lr=16\Rightarrow l=\frac{16}{r}\Rightarrow l^2=\frac{256}{r^2}\]

Por otro lado, en el triángulo \(BOD\), aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

\[r^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2\Rightarrow r^2=\frac{l^2}{4}+\frac{r^2}{4}\Rightarrow 4r^2=l^2+r^2\Rightarrow l^2=3r^2\]

Sustituyendo el valor de \(l^2\):

\[\frac{256}{r^2}=3r^2\Rightarrow r^4=\frac{256}{3}\Rightarrow r=\sqrt[4]{\frac{256}{3}}\cong3,04\,\text{uds}\]

El área del la región sombreada de azul es el área del círculo menos la del triángulo:

\[\pi r^2-12=3,04^2\pi-12\cong17,03\,\text{uds}^2\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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