Test de matemáticas

La diagonal forma con dos de los lados del cuadrado, un triángulo rectángulo. Dicha diagonal es la hipotenusa de este triángulo rectángulo. Si llamamos \(x\) al lado, por el teorema de Pitágoras:

\[x^2+x^2=2^2\Rightarrow2x^2=4\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}\ \text{metros}\]

Infinitas. Es un decimal periódico puro: \(\displaystyle\frac{1}{3}=0,333\ldots\)

Discriminante de la ecuación de segundo grado. Se suele denotar con la letra griega delta mayúscula: \(\Delta=b^2-4ac\).

No tiene solución pues no existe ningún número real \(x\) que multiplicado por \(0\) dé como resultado \(3\). Todo real multiplicado por cero es igual a cero.

Obsérvese que si despejamos \(x\) de la manera habitual tenemos \(\displaystyle x=\frac{3}{0}\), expresión que no existe o no tiene sentido. Vamos, que no se puede dividir por cero. En matemáticas está absolutamente prohibido.

No, en general no es cierta ninguan de las dos igualdades siguientes:

\[\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\quad;\quad \sqrt{a-b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]

Si fuera cierta tendríamos que \(\sqrt{39}=\sqrt{64-25}=8-5=3\), es decir que \(\sqrt{39}=3\), que es una contradicción.

Sí que es cierta.

Se puede demostrar haciendo uso de una de las propiedades del valor absoluto: \(|ab|=|a||b|\):

\[|-a|=|-1||a|=1|a|=|a|\]

No. Veamos la razón:

\[\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{8}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\frac{3\cdot4}{2}=\frac{12}{2}=6\]

Antes lo que se ha hecho es racionalizar la expresión. También se puede demostrar así:

\[\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=3\cdot\sqrt{\frac{8}{2}}=3\cdot\sqrt{4}=3\cdot2=6\]

Son perpendiculares. La razón es porque la pendiente de una es la inversa de la de la otra cambiada de signo.

El resultado dice que si \(y=mx+n\), \(y=m’x+n’\), son dos rectas en el plano y se cumple que \(\displaystyle m=-\frac{1}{m’}\), entonces ambas rectas son perpendiculares.

El punto medio \(M\) de dos puntos \(A(a_1,a_2)\) y \(B(b_1,b_2)\) viene dado por \(\displaystyle M=\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2}\right)\). En este caso el punto medio es:

\[M=\left(\frac{0+(-2)}{2},\frac{7+(-3)}{2}\right)=(-1,2)\]

Hay que restarle a \(60\) el \(15\%\) de \(60\):

\[60-\frac{15}{100}60=60-\frac{900}{100}=60-9=51\]

Por tanto el precio rebajado de las zapatillas es de \(51\) euros.

Tiene infinitas soluciones. La segunda ecuación es la primera multiplicada por \(-2\). Por tanto ambas ecuaciones son equivalentes y el sistema se puede reducir a una ecuación: \(x-2y=3\). Esta es la ecuación general de una recta en el plano. Y una recta tiene infinitos puntos, que son las infinitas soluciones del sistema. Para saberlas todas basta despejar una de las dos incógnitas:

\[x-2y=3\Rightarrow x=2y+3\]

Ahora, dándole valores arbitrarios a \(y\) se obtiene el correspondiente de \(x\). Por ejemplo, si \(y=3\), \(x=9\); si \(y=-5\), \(x=-7\) y así sucesivamente.

Recibe el nombre de hipérbola. En general, las gráficas de las funciones de la forma \(\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\), con \(c\neq0\), son hipérbolas.

El límite de una función racional cuando \(x\) tiende a infinito es igual al cociente de los coeficientes líderes del polinomio del numerador y del denominador, siempre y cuándo estos polinomios sean de igual grado. En este caso:

\[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3-x^2+2}{2x^3-4x+1}=\frac{1}{2}\]

Estos límites también se suelen hacer dividiendo todos los términos entre el monomio de mayor grado:

\[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3-x^2+2}{2x^3-4x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^3}{x^3}-\frac{x^2}{x^3}+\frac{2}{x^3}}{\displaystyle\frac{2x^3}{x^3}-\frac{4x}{x^3}+\frac{1}{x^3}}=\]

\[=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle1-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{\displaystyle2-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1-0+0}{2-0+0}=\frac{1}{2}\]

Todos los términos de la forma \(\displaystyle\frac{a}{bx^n}\) tienen límite \(0\) cuando \(x\) tiende a infinito.

Para saber más puedes ver este artículo: «Cálculo de límites. La indeterminación infinito partido por infinito.»

Utilizaremos el siguiente resultado:

\[y=\sqrt{f(x)}\Rightarrow y’=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\]

En este caso

\[f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}\]

Si quieres saber más sobre derivadas a nivel elemental puedes hacer click aquí.

Sí que es cierta. Es la conocida fórmula del seno del ángulo doble.

Llamemos \(h\) a la altura de la torre del vino. Observa la siguiente figura.

Una aplicación de la trigonometría.

Entonces:

\[\text{tg}\,30^\text{o}=\frac{h}{48,5}\Rightarrow h=48,5\cdot\text{tg}\,30^\text{o}=48.5\cdot0.577=28\ \text{m.}\]

\[y’=4x-3\quad;\quad y’=0\Leftrightarrow 4x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\]

Lo anterior quiere decir que \(\displaystyle\frac{3}{4}\) es un posible extremo relativo.

Por otro lado:

\[y’>0\Leftrightarrow4x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{4}\]

\[y'<0\Leftrightarrow4x-3<0\Leftrightarrow x<\frac{3}{4}\]

Esto quiere decir que la función es creciente cuando \(\displaystyle x>\frac{3}{4}\) y decreciente cuando \(\displaystyle x<\frac{3}{4}\). De aquí se deduce que, efectivamente, \(\displaystyle\frac{3}{4}\) es un mínimo.

Para saber más sobre derivadas a un nivel elemental puedes hacer clic aquí.

También se podía haber contestado diciendo que \(y=2x^2-3x+1\) es la ecuación de una parábola. Esta parábola se «abre» hacia arriba pues su coeficiente líder es \(2\), que es mayor que cero. Por tanto su vértice será un mínimo. La abscisa o coordenada \(x\) del vértice se obtiene mediante la fórmula \(x=-\dfrac{b}{2a}\). En este caso \(x=-\dfrac{-3}{2\cdot2}=\dfrac{3}{4}\).

El área del recinto formado por la gráfica de la función \(f(x)\), las rectas verticales que pasan por \(x=0\) (el eje \(Y\)) y por \(x=2\), y el eje \(X\).

En análisis matemático se conoce como integral definida.

Por ejemplo, en la figura se representa el área del recinto anterior tomando \(f(x)=-x^2+x+4\):

Si quieres saber más puedes consultar este curso sobre integral dedinida en 6 lecciones.

Según la regla de Laplace, la probabilidad de que ocurra un suceso es igual al número de casos favorables dividido entre el número de casos posibles. Al lanzar dos dados el número de casos posibles es \(36\):

\[\begin{matrix}(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\end{matrix}\]

Por tanto si llamamos \(A\) al suceso «salir dos seises»: \(A=\{(6,6)\}\):

\[P(A)=\frac{1}{36}\]

donde \(P(A)\) es la notación para la probabilidad del suceso \(A\).

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Llamemos \(A\) al suceso «la primera carta extraída es una figura» y \(B\) al suceso «la segunda carta extraída es una figura». Entonces obtener dos figuras al extraer dos cartas simultáneamente es lo mismo que ocurran simultáneamente los sucesos \(A\) y \(B\). Esto se llama suceso intersección y se escribe así \(A\cap B\). Así pues:

\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)=\frac{12}{40}\cdot\frac{11}{39}=\frac{132}{1560}=0,0846\]

La probabilidad \(P(B/A)\) es una probabilidad condicionada y significa «probabilidad de que ocurra el suceso \(B\) sabiendo que ha ocurrido el suceso \(A\)». En este caso, para que salgan dos figuras, cuando extraemos la segunda carta ya sabemos que la primera extraída ha sido una figura. Por tanto quedan \(11\) figuras de las \(12\) que hay y \(39\) cartas de las \(40\) que tiene la baraja.

En definitiva, digamos que, más o menos, entre un \(8\%\) y un \(9\%\) de las veces que extraigamos dos cartas simultáneamente de una baraja española, ambas serán figuras.

Nota: en una baraja española de \(40\) cartas hay doce figuras, tres por palo (sota, caballo y rey para cada palo). Como hay cuatro palos (oros, copas, espadas y bastos) tenemos que el número de figuras es \(3\cdot4=12\).

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