¿Te atreves? Un problema de matemáticas (6)

Otro problema de matemáticas que solemos hacer en el último curso de la educación secundaria obligatoria o en primero de bachillerato (ya sea en Matemáticas I, o en Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I).

  • Enunciado

Un grupo de amigos decide pagar a partes iguales un viaje que vale 14000 euros. A última hora, a causa de un imprevisto, 3 de los jóvenes no pueden ir, de manera que la cuota de pago les asciende al resto del grupo en 1500 euros. ¿Cuántos amigos forman el grupo? ¿Cuánto tiene que pagar cada amigo al final?

La solución aquí

La solución aquí

Llamemos \(x\) al número de amigos que forman el grupo. Puesto que el viaje vale 14000 euros, cada uno debería de pagar \(\dfrac{14000}{x}\) euros. Pero resulta que 3 de ellos no pueden ir, con lo que el pago del viaje se hará entre \(x-3\) amigos. En este caso la cuota de pago asciende en 1500 euros, es decir, ahora cada uno tendría que pagar \(\dfrac{14000}{x}+1500\). De este modo podemos plantear la siguiente ecuación:

\[\left( {x – 3} \right) \cdot \left( {\frac{{14000}}{x} + 1500} \right) = 14000\]

Resolviéndola:

\[{x} \cdot \frac{{14000}}{{{x}}} + 1500x – 3 \cdot \frac{{14000}}{x} – 4500 = 14000 \Rightarrow\]

\[\Rightarrow {{14000}} + 1500x – \frac{{42000}}{x} – 4500 = {{14000}} \Rightarrow\]

Multiplicando todos los términos por \(x\):

\[\Rightarrow 1500{x^2} – 42000 – 4500x = 0 \Rightarrow\]

Ordenando y dividiendo todos los términos entre 1500, que es el máximo común divisor de 1500, 42000 y 4500:

\[\Rightarrow 1500{x^2} – 42000 – 4500x = 0 \Rightarrow {x^2} – 3x – 28 = 0\]

El discriminante de esta última ecuación de 2º grado es

\[\Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4 \cdot 1 \cdot \left( { – 28} \right) = 9 + 112 = 121\]

Por tanto:

\[x = \frac{{3 \pm \sqrt {121} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{3 \pm 11}}{2}\]

Y de aquí obtenemos dos soluciones: \(x_1=7\) y \(x_2=-4\).

Se deduce pues que el grupo lo forman 7 amigos. La solución \(x=-4\) es, evidentemente, no válida como solución a este problema. Además, puesto que \(\dfrac{14000}{7}+1500=3500\), cada amigo tiene que pagar al final 3500 euros.

Este problema también se puede hacer plateando un sistema de ecuaciones. Si llamamos \(x\) al número de amigos que forman el grupo, y llamamos \(y\) a la cuota que, en principio, tendría que abonar cada uno, tenemos:

\[\begin{cases}\dfrac{{14000}}{x} = y\\ \dfrac{{14000}}{{x – 3}} = y + 1500 \end{cases}\]

Sustituyendo el valor de \(y\) de la primera ecuación en la segunda ecuación: \(\dfrac{{14000}}{{x – 3}} = \dfrac{{14000}}{x} + 1500\). Y multiplicando todos los términos por \(x(x-3)\):

\[14000x = 14000\left( {x – 3} \right) + 1500x\left( {x – 3} \right) \Rightarrow\]

\[\Rightarrow{{14000x}} = {{14000x}} – 42000 + 1500{x^2} – 4500x \Rightarrow\]

\[\Rightarrow 1500{x^2} – 4500x – 42000 = 0 \Rightarrow {x^2} – 3x – 28 = 0\]

Esta última ecuación es la misma que se ha obtenido anteriormente, con lo que la solución válida es \(x=7\) (número de amigos que forman el grupo). Además \(y = \dfrac{{14000}}{7} = 2000\) (cuota inicial). Por tanto, lo que tiene que pagar cada amigo al final es \(y + 1500 = 2000 + 1500 = 3500\) euros.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Un comentario

  1. Si la ausencia de 3 amigos incrementa la suma colectiva en 1500, quiere decir que cada amigo ponía 500, fácil deducir que ej grupo original era de 7 amigos

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