- Enunciado
Calcular
\[\sqrt[8]{2207-\frac{1}{2207-\displaystyle\frac{1}{2207-\displaystyle\frac{1}{2207-\,\cdots}}}}\]
expresando el resultado en la forma \(\displaystyle \frac{a+b\sqrt{c}}{d}\), con \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) números enteros.
Referencia.
Conde, J.M.; Sepulcre, J.M. Problemas elementales de olimpiadas matemáticas. Publicaciones Universidad de Alicante, 2013.
Solución
Solución
Sea \(n\) un entero positivo y consideremos la siguiente aplicación
\[h(n)=n-\displaystyle\frac{1}{n-\displaystyle\frac{1}{n-\displaystyle\frac{1}{n-\cdots}}}\]
El problema consiste en calcular \(\sqrt[8]{h(2207)}\).
En primer lugar, claramente se verifica que
\[h(n)=n-\frac{1}{h(n)}\]
Y de aquí:
\[(h(n))^2=n\cdot h(n)-1\Rightarrow (h(n))^2-n\cdot h(n)+1=0\Rightarrow\]
\[\Rightarrow h(n)=\frac{n\pm\sqrt{n^2-4}}{2}\]
Para \(n>2\), tenemos que
\[\frac{n-\sqrt{n^2-4}}{2}=\frac{(n-\sqrt{n^2-4})(n+\sqrt{n^2-4})}{2(n+\sqrt{n^2-4})}=\frac{n^2-\sqrt{n^2-4}^2}{2(n+\sqrt{n^2-4})}=\]
\[=\frac{n^2-(n^2-4)}{2(n+\sqrt{n^2-4})}=\frac{4}{2(n+\sqrt{n^2-4})}=\frac{2}{n+\sqrt{n^2-4}}\]
Pero
\[\frac{2}{n+\sqrt{n^2-4}}<\frac{2}{n}<1<h(n)\]
Es decir, para \(n>2\) hemos demostrado que
\[h(n)=\frac{n-\sqrt{n^2-4}}{2}<h(n)\]
lo cual es una contradicción. Esto nos lleva a considerar sólo la solución
\[h(n)=\frac{n+\sqrt{n^2-4}}{2}\]
Por otra parte,
\[(h(n))^2=\frac{n^2+n^2-4+2n\sqrt{n^2-4}}{4}=\frac{2(n^2-2+n\sqrt{n^2-4})}{4}=\]
\[=\frac{n^2-2+n\sqrt{n^2-4}}{2}=\frac{n^2-2+\sqrt{n^4-4n^2}}{2}=\]
\[=\frac{n^2-2+\sqrt{(n^2-2)^2-4}}{2}=h(n^2-2)\]
Es conveniente observar que, siendo \(n\) un entero positivo, \(n^2-2>2\) si, y solo si, \(n>2\). Por tanto, llamando \(k=n^2-2\), se tiene que
\[\sqrt{h(k)}=h(n)=h(\sqrt{k+2})\]
ya que \(n=\sqrt{k+2}\).
Por tanto, usando que \(\sqrt{h(k)}=h(\sqrt{k+2})\), podemos escribir
\[\sqrt{h(2207)}=h(\sqrt{2209})=h(47)\]
y así también
\[\sqrt[4]{h(2207)}=\sqrt{h(47)}=h(\sqrt{49})=h(7)\]
Finalmente,
\[\sqrt[8]{h(2207)}=\sqrt{h(7)}=h(\sqrt{9})=h(3)=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\]
Resultado.
=2.61803
Saludos.