¿Te atreves? Un problema de matemáticas (1)

Sea \(n\) un entero positivo y consideremos la siguiente aplicación

\[h(n)=n-\displaystyle\frac{1}{n-\displaystyle\frac{1}{n-\displaystyle\frac{1}{n-\cdots}}}\]

El problema consiste en calcular \(\sqrt[8]{h(2207)}\).

En primer lugar, claramente se verifica que

\[h(n)=n-\frac{1}{h(n)}\]

Y de aquí:

\[(h(n))^2=n\cdot h(n)-1\Rightarrow (h(n))^2-n\cdot h(n)+1=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow h(n)=\frac{n\pm\sqrt{n^2-4}}{2}\]

Para \(n>2\), tenemos que

\[\frac{n-\sqrt{n^2-4}}{2}=\frac{(n-\sqrt{n^2-4})(n+\sqrt{n^2-4})}{2(n+\sqrt{n^2-4})}=\frac{n^2-\sqrt{n^2-4}^2}{2(n+\sqrt{n^2-4})}=\]

\[=\frac{n^2-(n^2-4)}{2(n+\sqrt{n^2-4})}=\frac{4}{2(n+\sqrt{n^2-4})}=\frac{2}{n+\sqrt{n^2-4}}\]

Pero

\[\frac{2}{n+\sqrt{n^2-4}}<\frac{2}{n}<1<h(n)\]

Es decir, para \(n>2\) hemos demostrado que

\[h(n)=\frac{n-\sqrt{n^2-4}}{2}<h(n)\]

lo cual es una contradicción. Esto nos lleva a considerar sólo la solución

\[h(n)=\frac{n+\sqrt{n^2-4}}{2}\]

Por otra parte,

\[(h(n))^2=\frac{n^2+n^2-4+2n\sqrt{n^2-4}}{4}=\frac{2(n^2-2+n\sqrt{n^2-4})}{4}=\]

\[=\frac{n^2-2+n\sqrt{n^2-4}}{2}=\frac{n^2-2+\sqrt{n^4-4n^2}}{2}=\]

\[=\frac{n^2-2+\sqrt{(n^2-2)^2-4}}{2}=h(n^2-2)\]

Es conveniente observar que, siendo \(n\) un entero positivo, \(n^2-2>2\) si, y solo si, \(n>2\). Por tanto, llamando \(k=n^2-2\), se tiene que

\[\sqrt{h(k)}=h(n)=h(\sqrt{k+2})\]

ya que \(n=\sqrt{k+2}\).

Por tanto, usando que \(\sqrt{h(k)}=h(\sqrt{k+2})\), podemos escribir

\[\sqrt{h(2207)}=h(\sqrt{2209})=h(47)\]

y así también

\[\sqrt[4]{h(2207)}=\sqrt{h(47)}=h(\sqrt{49})=h(7)\]

Finalmente,

\[\sqrt[8]{h(2207)}=\sqrt{h(7)}=h(\sqrt{9})=h(3)=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\]