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Archivo de Etiquetas: vectores

La recta en el plano. Paralelismo, perpendicularidad y distancias

Una recta \(r\) está completamente determinada si conocemos un punto suyo \(A(a_1,a_2)\) y un vector \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) que tenga la misma dirección de la de la recta (vector director). En este caso, cualquier punto \(P(x,y)\) lo podemos escribir usando la siguiente combinación lineal: \(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OA} + \lambda \vec u\) donde \(O(0,0)\) es el origen de coordenadas y \(\lambda \in \mathbb{R}\) (parámetro). Si ...

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Producto vectorial. Producto mixto de tres vectores. Aplicaciones

Producto vectorial Para una lectura comprensiva de este artículo se recomienda leer antes este otro: “Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones“. Dados dos vectores de distinta dirección podemos construir, trasladando cada vector al extremo del otro, un paralelogramo. Fíjate en la figura siguiente Su área es el producto de la base por la altura y, con un poco de trigonometría ...

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Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones

Proyecciones La proyección de un punto \(A\) sobre una recta \(r\) es el punto \(B\) donde la recta perpendicular a \(r\) que pasa por \(A\) corta a la recta \(r\). Con un dibujo se entiende muy bien. La proyección de un segmento \(\overline {AB}\) sobre una recta \(r\) es otro segmento \(\overline {CD}\) contenido en la recta \(r\), cuyos extremos ...

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Sobre vectores y matrices. Independencia lineal. Rango de una matriz

Espacios vectoriales Llamaremos \(\mathbb{R}^2\) al conjunto de todos los pares ordenados de la forma \((a_1,a_2)\) tal que \(a_1,a_2\in\mathbb{R}\). Es decir: \[\mathbb{R}^2=\{(a_1,a_2):a_1,a_2\in\mathbb{R}\}\] De la misma forma: \[\mathbb{R}^3=\{(a_1,a_2,a_3):a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\}\] \[\mathbb{R}^4=\{(a_1,a_2,a_3,a_4):a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathbb{R}\}\] Y, en general: \[\mathbb{R}^n=\{(a_1,a_2,\ldots,a_n):a_1,a_2,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\}\] Si vemos los elementos de \(\mathbb{R}^n\) como matrices fila podemos identificar este conjunto con el conjunto de las matrices de una fila y \(n\) columnas: \(\mathcal{M}_{1\times n}\). Recordemos que ...

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Distancias entre puntos

En primer lugar veamos la distancia de un punto \(A(x,\,y)\) al origen de una referencia ortonormal \((O\,;\,\{i,\,j\})\). En la figura 2, la distancia \(OA\) es el módulo del vector de posición \(OA=(x,\,y)\); es decir: \[|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}}=\sqrt{x\cdot x+y\cdot y}=\sqrt{x^2+y^2}\] o sea: \[d(A,O)=\sqrt{x^2+y^2}\] Obsérvese cómo se obtiene lo mismo que al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 2. ...

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