Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A). Enunciado Dadas las rectas \[r\equiv\begin{cases} x-y=1\\ y+z=1 \end{cases}\quad\text{y}\quad s\equiv\begin{cases} x=t\\ y=1-t\\ z=t \end{cases}\] se pide a) Determina su posición relativa. b) Halla el ángulo que forman sus vectores de dirección.
Leer más »Archivo de Etiquetas: perpendicularidad
La recta en el plano. Paralelismo, perpendicularidad y distancias
Una recta \(r\) está completamente determinada si conocemos un punto suyo \(A(a_1,a_2)\) y un vector \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) que tenga la misma dirección de la de la recta (vector director). En este caso, cualquier punto \(P(x,y)\) lo podemos escribir usando la siguiente combinación lineal: \(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OA} + \lambda \vec u\) donde \(O(0,0)\) es el origen de coordenadas y \(\lambda \in \mathbb{R}\) (parámetro). Si ...
Leer más »Recta perpendicular a una dada. Representaciones gráficas con desmos
En un antiguo artículo de esta web se hace un estudio completísimo de la relación que guarda la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas y la recta en el plano afín, intentando unir la parte algebraica y analítica con la parte geométrica. En el artículo citado aparecen dos de las ecuaciones más conocidas de la recta en el ...
Leer más »Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto \(P(p_1,p_2)\) a una recta \(r\equiv Ax+By+C=0\) es la longitud del segmento de perpendicular a la recta, trazada por el punto \(P\), comprendido entre éste y aquella. En la figura 10, \(d(P,r)=d(P,M)\). Para calcularla podemos hallar la recta s perpendicular a \(r\) que pasa por \(P\), resolver el sistema formado por ambas rectas para hallar el punto ...
Leer más »Ecuación normal de la recta. Cosenos directores
En la figura 9 hemos tomado la recta \[r\equiv Ax+By+C=0\] Sobre ella se consideran los puntos \(A(a_1,a_2)\) y \(X(x,y)\) que determinan el vector \[\overrightarrow{AX}=(x-a_1,y-a_2)\] El vector \(\vec{z}\) se ha construido unitario y perpendicular a \(r\). Por tanto tiene la misma dirección que el vector \(\vec{v}=(A,B)\). Para obtener \(\vec{z}\) basta multiplicar \(\vec{v}\) por el inverso de su módulo: \[\vec{z}=\frac{1}{|\vec{v}|}\cdot(A,B)=\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)\] Ahora bien: \[\overrightarrow{AX}\perp\vec{z}\Rightarrow\frac{A\cdot(x-a_1)}{\sqrt{A^2+B^2}}+\frac{B\cdot(y-a_2)}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\] O sea: ...
Leer más »Paralelismo y perpendicularidad
Si dos rectas \(r\) y \(s\) de pendientes respectivas \(m_1\) y \(m_2\) son paralelas, forman un ángulo de \(0^{\circ}\). En ese caso: \[\text{tg}\,0^{\circ}=0\Rightarrow\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}=0\Rightarrow m_2-m_1=0\Rightarrow m_2=m_1\] Esto nos lleva a un resultado conocido: dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. \[r||s\Leftrightarrow m_r=m_s\] Este resultado está de acuerdo con la fórmula que veíamos en la sección 1 pues, efectivamente, si consideramos dos ...
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