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Archivo de Etiquetas: números irracionales

Expresiones infinitas y la razón áurea

Supongamos que nos piden hallar un valor de \(x\) igual al de las siguientes expresiones infinitas: \[x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\quad(1)\] \[x=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\quad(2)\] Dicho de otra manera, queremos otra forma de escribir el valor de \(x\), pero no como una expresión infinita. En el primer caso, precisamente por ser una expresión infinita, es fácil darse cuenta de que \[x=\sqrt{1+x}\] Entonces: \[x^2=1+x\Rightarrow x^2-x-1=0\] Y resolviendo ...

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La existencia de los números irracionales

En las matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria se presentan los números irracionales como aquellos que no son racionales, es decir, aquellos que no se pueden poner en forma de fracción. Como es muy habitual hablar de la expresión decimal de una fracción (que es o bien decimal exacta o bien decimal periódica), se dice también de los irracionales que ...

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Introducción al número real. Un paseo por el concepto de número en la Secundaria Obligatoria

Mi profesor de geometría de primero de carrera insertaba citas al comienzo de las relaciones de ejercicios que nos entregaba de cada tema. Recuerdo perfectamente una de las primeras: He de ser cruel para ser piadoso. El principio es malo, pero lo peor aún está por venir. Hamlet, Shakespeare. Con el tiempo descubrí que la cita no pretende desanimar, sino ...

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Descubriendo el número \(e\)

Antes de leer este artículo, en el que vamos a demostrar la existencia de un número irracional como límite de una determinada sucesión (el número \(e\)), se recomienda hacer una lectura atenta de este otro: “Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión”. Proposición Consideremos la sucesión \(\{x_n\}\) de números reales definida por: \[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\] a)  \(\{x_n\}\) es convergente ...

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