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La senda estrecha y rectilínea del cálculo formal conduce, con no poca frecuencia, hasta los pétreos muros del enigma. Fijémonos en el caso de la fórmula de Cardano para la ecuación cúbica. Tal fórmula fue publicada por vez primera en 1545, por Girolamo Cardano en su Ars Magna y daba la solución de la ecuación cúbica: \[x^3+mx=n\] La fórmula de ...

Decir que la raíz de índice \(n\) del número complejo \(r_{\alpha}\) es el número complejo \(R_{\beta}\) es lo mismo que decir que la potencia de exponente \(n\) de \(R_{\beta}\) es igual a \(r_{\alpha}\). Simbólicamente: \[\sqrt[n]{r_{\alpha}}=R_{\beta}\Leftrightarrow \left(R_{\beta}\right)^n=r_{\alpha}\] Entonces, por la potenciación de complejos en forma polar: \[r_{\alpha}=(R^n)_{n\,\beta}\] De la igualdad de los dos complejos anteriores dados en forma polar se deduce que los ...

Sea el número complejo \(z=r\_{\alpha}\), el cual deseamos elevarlo a la potencia de exponente \(n\). \[z^n=(r_{\alpha})^n=r_{\alpha}\cdot r_{\alpha}\cdot\ldots\cdot\,(\text{n veces})\,\cdot\ldots\cdot r_{\alpha}=(r^n)_{\alpha+\alpha+\ldots+\,(\text{n veces})\,+\ldots+\alpha}\] Es decir, la potencia de un número complejo en forma polar se calcula del siguiente modo: \[(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}\] Si los dos miembros de la fórmula anterior los expresamos en forma trigonométrica se obtiene la que se conoce con el nombre de Fórmula ...

Producto de números complejos en forma polar En la multiplicación de complejos que realizaremos a continuación, tendremos en cuenta que \(i^2=-1\). También se han de recordar, de la parte de trigonometría, los desarrollos de \(\text{cos}\,(\alpha+\beta)\) y \(\text{sen}\,(\alpha+\beta)\). \[\text{cos}\,(\alpha+\beta)=\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\] \[\text{sen}\,(\alpha+\beta)=\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\] Supongamos pues que tenemos dos números complejos \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=r’_{\beta}\). Ambos se pueden escribir en su forma trigonométrica: \(z_1=r\cdot(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\), \(z_2=r’\cdot(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)\). Entonces, multiplicando estas ...

El número complejo \(z=a+bi\), en lugar de quedar determinado por sus componentes real e imaginaria, \(a\) y \(b\), puede quedar fijado mediante su módulo y su argumento, cuyas definiciones se dan a continuación. Contemplemos antes la siguiente figura: Módulo de un número complejo \(z\) es el módulo del vector determinado por el origen del sistema de referencia y su afijo. ...

Diferencia de números complejos En realidad, la diferencia de números complejos no es distinta de la suma de números complejos. Para restar dos números complejos se suma el primero con el opuesto del segundo. Por ejemplo: \[(-5+6i)-(2-7i)=(-5+6i)+(-2+7i)=-7+13i\] División de números complejos La división de dos números complejos se define como la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor. \[\frac{a+bi}{c+di}=(a+bi)\cdot(c+di)^{-1}\] ...

En el artículo anterior, en el que se introducían los números complejos, vimos que el conjunto de los números complejos \(\mathbb{C}\) contiene al de los números reales \(\mathbb{R}\). También podemos considerar, como subconjunto de \(\mathbb{C}\), los números complejos cuya parte real es nula: \[\{(0,\,b)\ :\ b\in\mathbb{R}\}\] A este tipo de números complejos se les llama imaginarios puros. Designemos al complejo imaginario puro ...

Intentar resolver la ecuación \(x^2+9=0\) nos lleva a \(x=\sqrt{-9}\), expresión que no tiene sentido en el conjunto de los números reales, puesto que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea \(-9\). Esta situación pone de manifiesto la necesidad de ampliar los conjuntos de números, de tal manera que tengan cabida estas soluciones. Es cierto que, de crear nuevos números, ...