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Archivo de Etiquetas: matemáticas bachillerato

Integración de funciones trigonométricas

Sea \(\int\text{R}\,(\text{sen}\,x,\,\cos x,\,\text{tg}\,x)\) una función racional de \(\text{sen}\,x\), \(\cos x\) y \( \text{tg}\,x\), es decir, una función en la que \(\text{sen}\,x\), \(\cos x\) y \( \text{tg}\,x\) aparecen ligados por sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Si queremos integrar esta función y no encontramos un procedimiento sencillo, podemos transformarla en una función racional de \(t\) teniendo en cuenta lo que se expone ...

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Una integral de apariencia “inocente”

Se trata de calcular la primitiva de la función \(\dfrac{1}{\text{sen}\,x}\), o lo que es lo mismo, la siguiente integral indefinida: \[\int \frac{1}{\text{sen}\,x}\,dx \] Primer método Haremos uso del cambio de variable \(\text{sen}\,x=t\). De aquí, derivando obtenemos: \[\cos x\,dx=dt\Rightarrow dx=\frac{dt}{\cos x}=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\] En la última igualdad hemos usado la fórmula fundamental de la trigonometría: \[\text{sen}^2x+\cos^2x=1\Rightarrow\cos^2x=1-\text{sen}^2x\Rightarrow\cos^2 x=1-t^2\Rightarrow \cos x=\sqrt{1-t^2}\] De este modo: \[ ...

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Acceso Universidad Matemáticas II – Continuidad y aplicaciones de las derivadas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en julio de 2019 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Evaluación para el Acceso a la Universidad (propuesta B). Enunciado a) Demuestra que la ecuación \(\text{sen}\,x-2x+1=0\) tiene al menos una solución real en el intervalo \([0,\,\pi]\). b) Calcula razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación anterior cuando ...

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Acceso Universidad Matemáticas II – Matrices, determinantes y sistemas (3)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en 2012 (reserva 2) por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A). Enunciado Dada la matriz \[A = \left( {\begin{array}{cccc}a&0&0&-b\\0&a&b&0\\0&-b&a&0\\b&0&0&a\end{array}} \right)\ ;\ a,b\in\mathbb{R}\ ,\ a\neq0\,,\,b\neq0 \]a) Calcula \(A\cdot A^T\), donde \(A^T\) es la matriz traspuesta de \(A\).b) Razona que siempre existe la ...

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Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (5)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en julio de 2018 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Evaluación para Acceso a la Universidad (propuesta A). Enunciado Después de la administración por vía oral de un fármaco, la concentración de este en sangre sigue el modelo: \(C(t)=at^2e^{-bt}\), donde \(t\in[0,+\infty)\) es el tiempo en horas transcurridos desde la ...

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Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (4)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2015 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A). Enunciado Dada la función \(f(x)=e^{\text{sen}\,x}+x^2+ax+b\,\); \(\ a,\,b\in\mathbb{R}\): a) Determina los parámetros \(a,\,b\in\mathbb{R}\) sabiendo que la gráfica de \(f(x)\) pasa por el punto \((0,2)\) y que en dicho punto tiene un ...

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Acceso Universidad Matemáticas II – Continuidad y cálculo de límites (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2013 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A). Enunciado a) Calcula el valor \(a\in\mathbb{R}\), \(a>0\), para que la función \[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{ax}& \text{si}& x<0\\ \displaystyle\left(\frac{2x+7}{2x+1}\right)^x & \text{si} & x\geq0 \end{array}\right.\] sea continua en \(x=0\). b) Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

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Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (3)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en 2009 (reserva 1) por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios (Primer Bloque, Ejercicio A). Enunciado Según el artículo “The design of honeycombs” de A. L. Peressini, el área de la superficie de una celda de un panal de abejas está determinada por la función \[A(\theta)=p+q\frac{\sqrt{3}-\cos\theta}{\text{sen}\,\theta}\] ...

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