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Archivo de Etiquetas: ejercicios de números complejos

Radicación de números complejos

Decir que la raíz de índice \(n\) del número complejo \(r_{\alpha}\) es el número complejo \(R_{\beta}\) es lo mismo que decir que la potencia de exponente \(n\) de \(R_{\beta}\) es igual a \(r_{\alpha}\). Simbólicamente: \[\sqrt[n]{r_{\alpha}}=R_{\beta}\Leftrightarrow \left(R_{\beta}\right)^n=r_{\alpha}\] Entonces, por la potenciación de complejos en forma polar: \[r_{\alpha}=(R^n)_{n\,\beta}\] De la igualdad de los dos complejos anteriores dados en forma polar se deduce que los ...

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Potenciación de números complejos en forma polar. Fórmula de Moivre

Sea el número complejo \(z=r\_{\alpha}\), el cual deseamos elevarlo a la potencia de exponente \(n\). \[z^n=(r_{\alpha})^n=r_{\alpha}\cdot r_{\alpha}\cdot\ldots\cdot\,(\text{n veces})\,\cdot\ldots\cdot r_{\alpha}=(r^n)_{\alpha+\alpha+\ldots+\,(\text{n veces})\,+\ldots+\alpha}\] Es decir, la potencia de un número complejo en forma polar se calcula del siguiente modo: \[(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}\] Si los dos miembros de la fórmula anterior los expresamos en forma trigonométrica se obtiene la que se conoce con el nombre de Fórmula ...

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Producto y cociente de números complejos en forma polar

Producto de números complejos en forma polar En la multiplicación de complejos que realizaremos a continuación, tendremos en cuenta que \(i^2=-1\). También se han de recordar, de la parte de trigonometría, los desarrollos de \(\text{cos}\,(\alpha+\beta)\) y \(\text{sen}\,(\alpha+\beta)\). \[\text{cos}\,(\alpha+\beta)=\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\] \[\text{sen}\,(\alpha+\beta)=\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\] Supongamos pues que tenemos dos números complejos \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=r’_{\beta}\). Ambos se pueden escribir en su forma trigonométrica: \(z_1=r\cdot(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\), \(z_2=r’\cdot(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)\). Entonces, multiplicando estas ...

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Forma polar de un número complejo

El número complejo \(z=a+bi\), en lugar de quedar determinado por sus componentes real e imaginaria, \(a\) y \(b\), puede quedar fijado mediante su módulo y su argumento, cuyas definiciones se dan a continuación. Contemplemos antes la siguiente figura: Módulo de un número complejo \(z\) es el módulo del vector determinado por el origen del sistema de referencia y su afijo. ...

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