Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales

¿Y si nos preguntaran por la suma de los cuadrados de los \(100\) primeros números naturales? Ya, ya sé que podemos ponernos a la faena y, con paciencia, realizarla:

\[1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+97^2+98^2+99^2+100^2=\]

\[=1+4+9+16+\ldots+9409+9604+9801+10000=\ ?\]

Pero esto es muy pesado. ¿Se podrá deducir una fórmula general? Seguro que sí.

Gauss, con no más de siete años, sumó los \(100\) primeros números enteros. Hizo así:

\[1+100=101\]

\[2+99=101\]

\[3+98=101\]

\[\cdots\]

\[48+53=101\]

\[49+52=101\]

\[50+51=101\]

Como hay \(50\) parejas

\[1+2+3+4+\ldots+97+98+99+100=101\cdot50=5050\]

Para sumar los \(n\) primeros números naturales se procede de manera similar. Llamemos \(S\) a la suma. Entonces podemos escribir \(S\) de dos formas:

\[S=1+2+3+4+\ldots+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n\]

\[S=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots+4+3+2+1\]

Sumando término a término ambas igualdades:

\[2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)+(n+1)\]

Y como hay \(n\) sumandos

\[2S=n(n+1)\Rightarrow S=\frac{n(n+1)}{2}\]

Para sumar los \(100\) primeros números naturales basta sustituir en la fórmula anterior \(n\) por \(100\):

\[S=\frac{100\cdot101}{2}=\frac{10100}{2}=5050\]

Pero también podemos sumar, por ejemplo, los \(12964\) primeros números naturales:

\[S=\frac{12964\cdot12965}{2}=\frac{168078260}{2}=84039130\]

Ufanos por el logro anterior, ahora nos planteamos la suma de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales, tal y como nos proponíamos al principio:

\[S=1^2+2^2+3^2+\ldots+(n-2)^2+(n-1)^2+n^2\]

Antes de nada decir que en el proceso vamos a utilizar el desarrollo del cubo de un binomio:

\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

Pues bien, ahora procedamos del siguiente modo:

\[1^3=(1+0)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot0+3\cdot1\cdot0^2+0^3=1+0^3+3\cdot0+3\cdot0^2\]

\[2^3=(1+1)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot1+3\cdot1\cdot1^2+1^3=1+1^3+3\cdot1+3\cdot1^2\]

\[3^3=(1+2)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot2+3\cdot1\cdot2^2+2^3=1+2^3+3\cdot2+3\cdot2^2\]

\[\cdots\]

\[(n+1)^3=(1+n)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot n+3\cdot1\cdot n^2+n^3=1+n^3+3\cdot n+3\cdot n^2\]

Sumando cada columna tanto del primer miembro como del último de cada una de las igualdades anteriores se tiene:

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3+(n+1)^3=\]

\[=(n+1)+(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)+\]

\[+3(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+3(1+2+3+\ldots+n)\]

Simplificando términos:

\[(n+1)^3=(n+1)+3S+\frac{3n(n+1)}{2}\]

Despejando \(S\):

\[2(n+1)^3=2(n+1)+6S+3n(n+1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 6S=2(n+1)^3-2(n+1)-3n(n+1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow6S=(n+1)(2(n+1)^2-2-3n)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow6S=(n+1)(2n^2+4n+2-2-3n)=(n+1)(2n^2+n)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow6S=n(n+1)(2n+1)\Rightarrow S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

De este modo, las suma de los cuadrados de los 100 primeros números naturales es:

\[S=\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=\frac{2030100}{6}=338350\]