Sólidos de revolución. El Cuerno de Gabriel

Un sólido de revolución es una figura sólida obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma.

En lenguaje matemático, si tenemos dos funciones \(f\,,\,g\,:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), cuya gráfica está contenida en el plano \(\mathbb{R}^2\), obtendremos un sólido de revolución al rotar la gráfica de la región plana encerrada por dichas funciones alrededor de una recta dada \(r\) (generalmente uno de los ejes de coordenadas o una recta paralela a uno de ellos). Un ejemplo clásico es la figura tridimensional obtenida al rotar una circunferencia cuyo centro no sea el origen de coordenadas alrededor de cualquiera de los ejes de coordenadas. El sólido de revolución generado de esta manera se conoce con el nombre de Toro (ver la figura siguiente).

Empleando el cálculo integral es posible calcular el volumen de superficies de este tipo. El que ha estudiado algo de integración sabe que la integral es una suma continua con infinitos sumandos, y a través de la definición de Riemann entendemos que se trabaja siempre con elementos de tamaño infinitesimal que, en cálculo, digamos que son los diferenciales, es decir, el \(dx\) que aparece en el símbolo de integración. Veamos a continuación algunos métodos para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.

Método de discos

Este método consiste en algo así como «rebanar» el sólido en infinitos discos. Por ejemplo, si consideramos un cilindro, podemos «rebanarlo» en pequeñas porciones circulares. Al colocarlas todas juntas obtendremos el volumen del cilindro original. Para trabajar con el cálculo integral, es necesario que cada disco o «rebanada» tenga un grosor infinitesimal.

Así, consideraremos una sección de altura infinitesimal y con un área equivalente al de una circunferencia con radio \(r\) definido como la distancia entre la función y el eje de rotación. De este modo, si cada disco tiene área igual a \(\pi r^2\) y espesor \(\Delta x\), entonces su volumen es \(V=\pi r^2\Delta x\) (área de la base por altura).

Por tanto, el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región plana delimitada por la curva \(f(x)\) y el eje \(X\) alrededor de una recta de ecuación \(y=k\) (paralela al eje \(X\) o eje horizontal) viene dado por la expresión:

\[V=\pi\int^{x_2}_{x_1}\left(f(x)-k\right)^2\,dx\]

En la siguiente figura se ilustra esta idea. En ella se hace girar la región plana delimitada por la gráfica de la función \(y=-\dfrac{1}{2}x+3\) (en color negro), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=1\) y \(x=3\) alrededor del propio eje \(X\).

Este método sólo se puede aplicar cuando el sólido de revolución no tiene «huecos» interiores, es decir, cuando el eje de rotación está en el borde de la región plana.

Si en vez de rotar alrededor del eje horizontal lo hacemos alrededor de una recta paralela al eje vertical con ecuación \(x=a\), será necesario expresar \(x\) en función de \(y\), es decir, si la gráfica es \(y=f(x)\) tendremos que \(f^{-1}(y)=x\), de donde

\[V=\pi\int^{y_2}_{y_1}\left(f^{-1}(x)-a\right)^2\,dx\]

Si la función no tiene inversa en el intervalo dado se puede escoger una porción y calcular la integral en el intervalo biyectivo, y luego sumar la integral de la otra parte, ya que los volúmenes son invariantes ante la suma (la integral de una suma es la suma de las integrales).

Ejemplo 1

Calculemos el volumen del sólido mostrado en la figura anterior:

\[V=\pi\int^{3}_{1}\left(-\frac{1}{2}x+3\right)^2\,dx=\pi\int^{3}_{1}\left(\frac{x^2}{4}-3x+9\right)\,dx=\]

\[=\pi\left[\frac{x^3}{12}-\frac{3x^2}{2}+9x\right]^{3}_{1}=\pi\left[\left(\frac{27}{12}-\frac{27}{2}+27\right)-\left(\frac{1}{12}-\frac{3}{2}+9\right)\right]=\frac{49\pi}{6}\]

Método de coronas circulares

Cuando el eje de rotación no está en la región plana entonces no podemos considerar discos. En la siguiente figura se muestra sombreada en color azul el área de un corona circular:

Este área \(A\) es la diferencia entre el área del círculo mayor y el área del círculo menor, es decir:

\[A=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)\]

Aplicando un razonamiento análogo al del método de los discos, sabemos que si sumamos todos los discos diferenciales del área obtenderemos un volumen, luego hemos deducido otro método que nos permite calcular el volumen del sólido de revolución.

Tenemos entonces que el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región plana delimitada por las curvas \(f(x)\) y \(g(x)\) tales que \(g(x)\geq f(x)\ \forall\,x\in[x_1\, ,\,x_2]\) (\(f\) es la curva interior y \(g\) es la curva exterior), alrededor de una recta \(y=k\), paralela al eje \(X\), será:

\[V=\pi\int^{x_2}_{x_1}\left((g(x)-k)^2-(f(x)-k)^2\right)\,dx\]

Ejemplo 2

Vamos a calcular el volumen del sólido de revolución formado al rotar la región plana entre las curvas \(y_1=\text{sen}\,x+\dfrac{x}{2}\), \(y_2=\text{sen}\,x+x\), alrededor de la recta \(y=-5\) en el intervalo \([0\, ,\, 10]\), empleando el método de las coronas circulares.

Observemos la figura siguiente, en la que se muestra la región plana que rotará alrededor del eje mencionado (¿eres capaz de imaginarte el correspondiente sólido de revolución?, seguro que sí):

En este caso es claro que:

\[\text{sen}\,x+\frac{x}{2}\leq\text{sen}\,x+x\]

Entonces el volumen del sólido de revolución generado es:

\[V=\pi\int^{10}_{0}\left((\text{sen}\,x+x-(-5))^2-(\text{sen}\,x+\dfrac{x}{2}-(-5))^2\right)\,dx=\]

\[=\pi\int^{10}_{0}\left(2x\text{sen}\,x+\text{sen}^2x+10\text{sen}\,x+x^2+10x+25\right)-\]

\[-\pi\int^{10}_{0}\left(x\text{sen}\,x+\text{sen}^2x+10\text{sen}\,x+\frac{x^2}{4}+5x+25\right)=\]

\[=\pi\int^{10}_{0}\left(x\text{sen}\,x+\frac{3x^2}{4}+5x\right)\,dx=\pi\left[\text{sen}\,x-x\cos x+\frac{x^3}{4}+\frac{5x^2}{2}\right]^{10}_{0}\]

Evaluando adecuadamente queda:

\[V=\pi(\text{sen}\,10-10\cos10+500)\]

Para hacer la integral indefinida \(\int x\text{sen}\,x\,dx\) se ha utilizado el método de integración por partes. Puedes ver unos apuntes sobre métodos de integración aquí. No es muy difícil de hacer. El resultado es \(\int x\text{sen}\,x\,dx=\text{sen}\,x-x\cos x+C\).

Método de envolventes cilíndricas

Se sabe que el área lateral de un cilindro (sin tapas, claro) es \(A=2\pi r h\), donde \(r\) es el radio de la base y \(h\) la altura del cilindro. Podemos considerar envolventes cilíndricas. De este modo, el volumen \(V\) vendría dado por la suma de todas esas envolventes, de la misma forma que en una cebolla (ver figura).

Entonces, el volumen del sólido de revolución originado al rotar la región plana delimitada por las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) tales que \(f(x)\geq g(x)\) en el intervalo \([x_1\,,\,x_2]\) alrededor de una recta de ecuación \(x=k\), paralela al eje \(Y\) calculado por el método de envolventes cilíndricas sería:

\[V=2\pi\int^{x_2}_{x_1}\left[(x-k)(f(x)-g(x))\right]\,dx\]

Para una rotación alrededor de una recta de ecuación \(y=p\), paralela al eje \(X\) se tiene:

\[V=2\pi\int^{y_2}_{y_1}\left[(y-k)(f^{-1}(x)-g^{-1}(x))\right]\,dx\]

Ejemplo 3

Calculemos el volumen del sólido de revolución formado al rotar la región plana delimitada por la curva \(y=\dfrac{1}{1+x^2}\) en el intervalo \([1\,,\,3]\) alrededor del eje \(Y\).

\[V=2\pi\int^{3}_{1}x\,\frac{1}{1+x^2}\,dx=\pi\int^{3}_{1}\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\]

\[=\pi\left[\ln(x^2+1)\right]^{3}_{1}=\pi(ln10-ln2)=\pi\ln5\]

El Cuerno de Gabriel

El Cuerno de Gabriel (también llamado Trompeta de Torricelli) es una figura geométrica ideada por Evangelista Torricelli que tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un volumen finito.

Se define como la superficie de revolución que se obtiene al girar, alrededor del eje \(X\), el gráfico de la función \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) para \(x\geq1\).

En el momento de su descubrimiento fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie.

La solución de la paradoja es que un área infinita requiera una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Por tanto, el hecho de que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Pero la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existiesen los átomos). Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente.

En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de \(y\), lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.

Regresando al cálculo integral, tenemos que por el método de los discos:

\[V=\pi\int^{a}_{1}\left(\frac{1}{x}\right)^2\,dx=\pi\left[-\frac{1}{x}\right]^{a}_{1}=\pi\left(1-\frac{1}{a}\right)\]

Haciendo tender \(a\) a infinito se tiene:

\[\lim_{a\to+\infty}\pi\left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi\]

Por tanto, el volumen es igual a \(\pi\). Ahora toca reflexionar acerca del significado de \(\pi\).