Continuidad de una función en un punto

Si \(f\) es una función real de variable real, y \(a\) es un número real perteneciente al dominio de la función \(f\) (\(a\in\text{Dom}\,f\)), sabemos que \((a,f(a))\) es un punto de la gráfica de \(f\). Intuitivamente, la función \(f\) es continua en este punto cuando al dibujar la gráfica de la misma, no tenemos que «levantar el lápiz del papel» al pasar por el mismo. Pero en matemáticas tenemos que plasmar la idea de continuidad de una función en un punto y expresarla por escrito de manera simbólica. Para ello usaremos el concepto de límite. Observa la siguiente figura:

La idea de continuidad en \(a\) o, como hemos dicho, de «no levantar el lápiz del papel» en el punto \((a,f(a))\) al dibujar la gráfica de \(f\), se asocia con esta otra: si \(x\) tiende o se acerca hacia \(a\), entonces \(f(x)\) tiende o se acerca hacia \(f(a)\). Formalicemos esta idea, ya que es muy importante disponer de una definición rigurosa de continuidad.

Definición de continuidad de una función en un punto

Diremos que \(f\) es continua en \(x=a\) si se cumple la siguiente condición:

\[x\rightarrow a\Rightarrow f(x)\rightarrow f(a)\]

Esta definición escrita en términos de límites quedaría de la siguiente manera:

Dicho esto, es conveniente analizar la definición anterior para que no se nos escape nada. Y es que, aunque aparentemente no parece nada del otro mundo, tal definición de continuidad de una función en un punto encierra tres claves fundamentales a tener en cuenta:

1. Puesto que \(a\in\text{Dom}\,f\), la existencia del número real \(f(a)\) está asegurada. Es decir, la imagen de la función \(f\) en el punto \(a\), \(f(a)\), es un número real. Pero iremos más lejos: si \(a\notin\text{Dom}\,f\), entonces la igualdad anterior carecería de sentido, pues no existiría \(f(a)\), de lo que se deduce que \(f\) no puede ser continua en puntos donde no está definida.
2. Existe el límite de la función cuando \(x\) tiende o se acerca al punto \(a\) y es finito, es decir, es un número real que lo podemos llamar \(L\). O sea, que cuando \(x\) tiende hacia \(a\), \(f(x)\) no tiende a más o menos infinito, sino que \(f(x)\) tiende a \(L\).
3. Los números cuya existencia se afirma en los dos puntos anteriores son iguales: \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L=f(a)\).

Existencia del límite de una función en un punto

Es conveniente detenerse en la segunda de las claves anteriores. Cuando \(x\) tiende hacia \(a\) lo podemos hacer o bien por la izquierda (\(x\rightarrow a^-\)), o bien por la derecha (\(x\rightarrow a^+\)). Por tanto, se puede hablar de límite de la función en el punto \(a\) tanto por la izquierda como por la derecha, que los notaremos, respectivamente, así: \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\), y los llamaremos límites laterales de la función \(f\) en \(a\). Para que exista el límite de la función \(f\) en el punto \(a\) necesariamente han de existir los dos límites laterales y ser iguales:

\[\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)\Rightarrow \lim_{x\to a}f(x)=L\]

Si alguno de los límites laterales no existe, es infinito, o aún existiendo ambos, son distintos, entonces no existe \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\).

Por cierto, cuando escribimos, por ejemplo, \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\), en realidad estamos abusando del lenguaje simbólico de las matemáticas. En este caso no es que exista el límite (para ello ha de ser finito), sino que nos resulta más cómodo usar esta notación que esta otra: \(f(x)\rightarrow+\infty\ (x\rightarrow a)\). De todas formas, abusamos mucho del lenguaje matemático y hablamos de que el límite en el punto \(a\) es \(+\infty\) o \(-\infty\). En cualquier caso la salvedad queda hecha.

Discontinuidades

Evidentemente hay funciones que no son continuas en ciertos puntos de su dominio de definición. Es decir, no siempre se cumple que

\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]

Y hay muchas maneras en que la igualdad anterior puede ser falsa. Basta con que alguna de las tres claves anteriores no se cumpla. Ya hemos comentado que si \(a\notin\text{Dom}\,f\), \(f\) no es continua en el punto \(a\).

Trataremos de dar una clasificación no demasiado exhaustiva (no es necesario a un nivel de Bachillerato) de las discontinuidades que puede presentar una función en un punto \(a\) de su dominio de definición, es decir, vamos a suponer de entrada que \(a\in\text{Dom}\,f\).

Vamos a distinguier entre discontinuidades evitables y no evitables. Y dentro de las segundas, haremos también un par de distinciones.

Discontinuidad evitable

Esta discontinuidad se presenta cuando existe \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) y es finito (lo que presupone, como ya se ha comentado, que han de existir los dos límites laterales laterales y ser iguales), pero su valor es distinto de \(f(a)\). Simbólicamente:

Observamos pues que la discontinuidad evitable se da cuando se cumplen las dos primeras claves pero no la tercera.

Si no existiera \(f(a)\) pero sí el límite cuando \(x\rightarrow a\), la discontinuidad se seguiría llamando evitable.

La discontinuidad se llama evitable porque se puede «evitar» asignando a \(f(a)\) el valor del límite en el punto \(a\). Con este único cambio evitaríamos la discontinuidad y la función pasaría a ser continua.

La discontinuidad evitable se caracteriza porque la gráfica de la función presenta un «hueco» en el punto \(x=a\). Se aprecia muy bien en la siguiente figura.

Los siguientes dos tipos de discontinuidad no son evitables.

Discontinuidad de salto finito

Esta discontinuidad se presenta cuando los dos límites laterales en el punto \(a\) existen y son finitos, pero no coinciden. Por tanto, no existirá el límite cuando \(x\rightarrow a\) y la función no será continua en \(x=a\).

\[\lim_{x\to a^-}f(x)=L_1\neq L_2=\lim_{x\to a^+}f(x)\Rightarrow\nexists\lim_{x\to a}f(x)\]

La longitud del salto viene dada por el siguiente valor: \(|L_1-L_2|\).

Discontinuidad de salto infinito

Esta discontinuidad se presenta cuando al menos uno de los dos límites laterales es infinito. En estos casos la función presenta en \(x=a\) una asíntota vertical y las discontinuidad también suele llamarse asintótica. Las discontinuidades de salto infinito entran dentro de un grupo de discontinuidades también llamadas esenciales.

En la figura anterior se aprecia claramente que \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=+\infty\), que \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=L_2=f(a)\) y que la recta \(x=a\) es una asíntota vertical.

En este enlace puedes ver lo que dice la Wikipedia sobre la clasificación de las discontinuidades de una función.

Normalmente, cuando se pide estudiar la continuidad de una función en un punto, se hace respecto de una función definida por trozos de funciones conocidas. Y es que las funciones elementales conocidas (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) siempre son continuas en todos aquellos puntos en los que están definidas.

Por ejemplo, la función:

\[f(x)=\begin{cases}\frac{x}{x-1}\quad\text{si}\quad x\leqslant1\\ \frac{1}{2}x+2\quad\text{si}\quad x>1\end{cases}\]

no es continua en \(x=1\), ya que

\[\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{x}{x-1}=-\infty\quad;\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{2}x+2\right)=\frac{5}{2}\]

Se trata de una discontinuidad de salto infinito o asíntotica. De hecho, la recta \(x=1\) es una asíntota vertical.

En los dos primeros ejercicios de este enlace y de este enlace se hace un estudio de la continuidad de funciones definidas por trozos. En esta misma web hay algunos exámenes de 1º de Bachillerato, de entre los que puedes encontrar algunos en los que aparecen ejercicios de continuidad de funciones.

Por último, decir que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del mismo. Para profundizar sobre la continuidad en un intervalo puedes hacer clic aquí.