Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene, en su forma reducida, el siguiente aspecto:

\[\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}\]

Las incógnitas son \(x\) e \(y\), y \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(p\) y \(q\) son números reales conocidos. Por ejemplo, podemos considerar el siguiente sistema:

\[\begin{cases}-3x+4y=1\\2x-y=3\end{cases}\]

Se trata de hallar los valores de las incógnitas \(x\) e \(y\) que hacen que las dos ecuaciones del sistema sean ciertas.

Para ello existen tres métodos: sustitución, igualación y reducción.

Método de sustitución

Consiste en despejar una de las dos incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones y sustituir su valor en la otra.

Resolvamos el sistema anterior usando este método.

Si despejamos la incógnita \(y\) de la segunda ecuación nos queda:

\[y=2x-3\]

Sustituyendo en la primera:

\[-3x+4(2x-3)=1\Rightarrow-3x+8x-12=1\Rightarrow5x=13\Rightarrow x=\frac{13}{5}\]

El valor de \(y\) se obtienen sustituyendo también en \(y=2x-3\):

\[y=2\cdot\frac{13}{5}-3=\frac{26}{5}-3=\frac{11}{5}\]

Método de igualación

Consiste en despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones e igualar ambas expresiones.

En el sistema anterior habíamos despejado la incógnita \(y\) de la segunda ecuación, obteniendo \(y=2x-3\).

Si ahora despejamos esta misma incógnita de la primera ecuación, tenemos:

\[y=\frac{1+3x}{4}\]

Igualando ambas expresiones y resolviendo la ecuación de primer grado resultante:

\[2x-3=\frac{1+3x}{4}\Rightarrow8x-12=1+3x\Rightarrow 5x=13\Rightarrow x=\frac{13}{5}\]

Sustituyendo ahora en \(y=2x-3\), volvemos a obtener, idénticamente a como hicimos antes, que

\[y=\frac{11}{5}\]

Método de reducción

Consiste en conseguir un sistema equivalente en el que los coeficientes de la incógnita \(x\) o de la incógnita \(y\) sean iguales opuestos. Luego, restando o sumando ambas ecuaciones, conseguiremos reducir a una sola ecuación con una incógnita. Para conseguir este sistema equivalente se multiplican una o las dos ecuaciones por números adecuados.

Resolvamos por el método de reducción el sistema anterior:

\[\begin{cases}-3x+4y=1\\2x-y=3\end{cases}\]

Si se multiplica la segunda ecuación por \(4\) el sistema se transforma en el siguiente sistema equivalente:

\[\begin{cases}-3x+4y=1\\8x-4y=12\end{cases}\]

Sumando ambas ecuaciones obtenemos, claramente:

\[5x=13\Rightarrow x=\frac{13}{5}\]

Vamos a obtener también la incónita \(y\) por reducción. Si en el sistema original multiplicamos la primera ecuación por \(2\) y la segunda por \(3\), obtenemos el siguiente sistema equivalente:

\[\begin{cases}-6x+8y=2\\6x-3y=9\end{cases}\]

Sumando de nuevo ambas ecuaciones obtenemos:

\[5y=11\Rightarrow y=\frac{11}{5}\]

Descripción gráfica

Desde el punto de vista gráfico, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un par de rectas en el plano. El punto de corte de ambas rectas corresponde con la solución del sistema

El sistema anterior, el cual hemos resuelto usando los tres métodos, gráficamente quedaría así: