Resolución de problemas de segundo grado

Esta entrada está extraída, prácticamente tal cual, de la siguiente referencia bibliográfica:

MEAVILLA, V. (2010) Aprendiendo matemáticas con los grandes maestros. Barcelona: Editorial Almuzara

Aprendiendo de Thomas Simpson

El matemático e inventor inglés Thomas Simpson es conocido en el mundo de las Matemáticas por sus contribuciones a los métodos numéricos de integración y porque la regla o método de Simpson es nombrada así en su honor.

Fue miembro de la Royal Society y de la Real Academia Sueca de Ciencias. Enseñó matemáticas en la Real Academia Militar de Woolwich. También escribión sobre cálculo infinitesimal (New Treatise of Fluxions, 1737) y probabilidad (The Nature and Laws of Chance, 1740).

En el campo de la educación matemática, sus textos sobre álgebra (Treatise of Algebra, 1745), geometría (Elements of Plane Geometry, 1747) y trigonometría (Trigonometry, Plane and Spherical, 1748) se editaron profusamente durante el siglo XVIII.

Resolución de problemas de segundo grado

Se ofrece aquí una selección de los problemas propuestos y resueltos por Simpson (Treatise of Algebra, Sección XI) en la que hemos respetado el número de orden que aparece en el texto original.

Problema XXVIII

Dividir el número 100 en dos partes cuyo producto sea 2100.

La solución aquí

La solución aquí

Sea \(x\) el exceso de la parte mayor sobre \(50\), la mitad del número dado. Entonces, la parte mayor será \(50+x\) y la menor \(50-x\). Por tanto, atendiendo al enunciado del problema:

\[(50+x)(50-x)=2100\Rightarrow2500-x^2=2100\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2=400\Rightarrow x=\sqrt{400}=20\]

En definitiva, \(50+x=70\) es la parte mayor, y \(50-x=30\) la menor.

Problema XXX

Encontrar dos números cuya diferencia sea 12 y tales que la suma de sus cuadrados sea 1424.

La solución aquí

La solución aquí

Sea \(x\) el número menor y \(x+12\) el mayor. Entonces, atendiendo al enunciado del problema

\[(x+12)^2+x^2=1424\Rightarrow 2x^2+24x+144=1424\Rightarrow x^2+12x=640\]

La última expresión, completando cuadrados, se convierte en

\[x^2+12x+36=640+36\Rightarrow x^2+12x+36=676\Rightarrow(x+6)^2=676\]

Y de aquí, por extracción de la raíz cuadrada de los dos miembros, resulta que \(x+6=26\). Por tanto, \(x=20\) y \(x+12=32\) son los dos números buscados ya que:

\[\begin{cases}32-20=12\\32^2+20^2=1424\end{cases}\]

Problema XXXIII

Encontrar dos números conociendo su suma y la suma de sus cubos.

La solución aquí

La solución aquí

Expresemos los números de la forma \(a+x\) y \(a-x\), donde \(a\) es la mitad de la suma de dichos números. Designemos la suma de sus cubos por \(c\). Por tanto:

\[(a-x)^3+(a+x)^3=c\]

Desarrollando y reduciendo términos semejantes, resulta:

\[a^3-3a^2x+3ax^2-x^3+a^3+3a^2x+3ax^2+x^3=c\Rightarrow2a^3+6ax^2=c\]

Entonces:

\[6ax^2=c-2a^3\Rightarrow x^2=\frac{c-2a^3}{6a}=\frac{c}{6a}-\frac{a^2}{3}\]

Luego

\[x=\sqrt{\frac{c}{6a}-\frac{a^2}{3}}\]

Problema XLIV

Encontrar dos números cuya suma es \(80\) (a la que llamaremos \(a\)) y tales que si se dividen alternativamente uno por otro, la suma de los cocientes es \(\frac{10}{3}\) (a la que llamaremos \(b\)).

La solución aquí

La solución aquí

Si uno de los números es \(x\), el otro será \(a-x\). Entonces, por las condiciones del problema, tendremos que

\[\frac{x}{x-a}+\frac{a-x}{x}=b\]

Quitando denominadores, trasponiendo términos y extrayendo factor común:

\[\frac{x^2}{x(a-x)}+\frac{(a-x)^2}{x(a-x)}=\frac{bx(a-x)}{x(a-x)}\Rightarrow x^2+a^2-2ax+x^2=abx-bx^2\]

\[\Rightarrow2x^2+bx^2-2ax-abx=-a^2\Rightarrow(2+b)x^2-(2+b)ax=-a^2\]

Ahora, dividiendo los dos miembros por \(2+b\):

\[x^2-ax=-\frac{a^2}{2+b}\]

Completando cuadrados se llega a que

\[x^2-ax+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2+b}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x-\frac{a}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2+b}\]

de donde

\[x-\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2+b}}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2+b}}\]

En el caso de \(a=80\) y de \(b=\frac{10}{3}\)

\[x=\frac{80}{2}\pm\sqrt{\frac{80^2}{4}-\frac{80^2}{2+\frac{10}{3}}}=40\pm\sqrt{1600-1200}=40\pm20\]

Por tanto, los dos números que se encuentran son \(x=60\) y \(x=20\).

Problema XLVI

Un viajero sale desde \(B\) hacia \(C\) al mismo tiempo que otro sale de \(C\) hacia \(B\). Los dos se mueven uniformemente, y en tal proporción, que el primero llega a \(C\) cuatro horas después del encuentro, y el segundo llega a \(B\), nueve horas después del encuentro. La pregunta es: ¿en cuántas horas realiza cada persona su viaje?

La solución aquí

La solución aquí

Sea \(D\) el punto de encuentro.

Sean \(a=4\) horas, \(b=9\) horas y llamemos \(x\) al número de horas que viajan hasta el punto de encuentro \(D\) (tiempo común para ambos viajeros). Entonces, como las distancias recorridas con el mismo movimiento uniforme están siempre una a otra como los tiempos en que se describen (en un movimiento uniforme los espacios son proporcionales a los tiempos):

\[\frac{BD}{DC}=\frac{x}{a}\]

Por la misma razón:

\[\frac{BD}{DC}=\frac{b}{x}\]

Por tanto:

\[\frac{x}{a}=\frac{b}{x}\]

De donde, \(x^2=ab\) y \(x=\sqrt{ab}\). Entonces \(x=\sqrt{36}=6\), con lo que \(a+x=10\) horas y \(b+x=15\) horas, que son los dos números buscados.

Problema XLVII

Cuatro números en progresión aritmética son tales que el producto de los extremos es 3250 (\(a\)) y el de los medios 3300 (\(b\)). ¿Cuáles son dichos números?

La solución aquí

La solución aquí

Representemos por \(y\) el número menor y por \(x\) la diferencia de la progresión. Con esto, los cuatro números se expresarán así: \(y\), \(y+x\), \(y+2x\), \(y+3x\). Entonces, por las condiciones del problema, tenemos las dos ecuaciones siguientes:

\[y(y+3x)=a\Rightarrow y^2+3xy=a\]

\[(y+x)(y+2x)=b\Rightarrow y^2+3xy+2x^2=b\]

Restando la primera de la segunda ecuación, resulta \(2x^2=b-a\). Por consiguiente:

\[x=\sqrt{\frac{b-a}{2}}=5\]

Para calcular \(y\), en virtud de la primera ecuación tenemos, completando cuadrados, que

\[y^2+3xy=a\Rightarrow y^2+2\frac{3}{2}xy+\frac{9}{4}x^2=a+\frac{9}{4}x^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(y+\frac{3}{2}x\right)^2=a+\frac{9}{4}x^2\Rightarrow y=\sqrt{a+\frac{9}{4}x^2}-\frac{3}{2}x\]

Sustituyendo \(a\) por \(3250\) y \(x\) por \(5\):

\[y=\sqrt{3250+\frac{225}{4}}-\frac{15}{2}=\sqrt{\frac{13225}{4}}-\frac{15}{2}=\frac{115}{2}-\frac{15}{2}=50\]

En consecuencia, los cuatro números son \(50\), \(55\), \(60\) y \(65\).

Problema LI

Dos viajeros \(A\) y \(B\) salen juntos del mismo lugar y por el mismo camino. El viajero \(A\) recorre 8 millas el primer día, 12 el segundo, 16 el tercero y así sucesivamente, aumentando 4 millas cada día. El viajero \(b\) recorre 1 milla el primer día, 4 el segundo, 9 el tercero, y así sucesivamente según el cuadrado del número de días. La pregunta es: ¿en cuántos días alcanzará \(B\) a \(A\)?

La solución aquí

La solución aquí

Designemos por \(e\) la diferencia de la progresión \(8\), \(12\), \(16\), etc., y por \(m\) a la diferencia entre el primer término de la progresión y la diferencia de la progresión. Sea \(x\) el número de días que viaja cada persona. Entonces, la suma de esta progresión, o el número de millas que recorre \(A\), será

\[xm+\frac{x(x+1)e}{2}\qquad(1)\]

Vamos a hacer un inciso para aclarar de dónde sale la expresión anterior. La suma \(S\) de los \(n\) primeros términos de una progresión aritmética de diferencia \(d\) viende dada por la fórmula

\[S=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\]

Entonces:

\[S=\frac{(a_1+a_1+(n-1)d)n}{2}=\frac{(2a_1+nd-d)n}{2}=\frac{2a_1n+n^2d-nd}{2}=\]

\[=\frac{2a_1n-2nd+n^2d+nd}{2}=\frac{2n(a_1-d)+nd(n+1)}{2}=\]

\[=n(a_1-d)+\frac{n(n+1)d}{2}\]

En el caso del viajero \(A\), \(n=x\), \(a_1-d=m\) y \(d=e\). Sustituyendo se obtiene la expresión \((1)\) o el número de millas que recorre \(A\).

La suma \(1+4+9+\ldots+x^2\), o la distancia recorrida por \(B\), será:

\[\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\qquad(2)\]

Para ver una demostración de la expresión \((2)\), ver el artículo suma de los cuadrados de los n primeros números naturales.

Entonces, atendiendo a la pregunta del problema, tendremos:

\[\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}=mx+\frac{x(x+1)e}{2}\]

de donde, dividiendo los dos miembos por \(x\) y operando, resulta:

\[\frac{2x^2+3x+1}{6}=m+\frac{ex+e}{2}\]

Eliminando denominadores y operando:

\[2x^2+3x+1=6m+3ex+3e\Rightarrow2x^2+3x-3ex=6m+3e-1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2+\frac{3x-3ex}{2}=3m+\frac{3e}{2}-\frac{1}{2}\]

Ahora, completando cuadrados, resulta:

\[x^2+\frac{3x-3ex}{2}+\left(\frac{3-3e}{4}\right)^2=3m+\frac{3e}{2}-\frac{1}{2}+\left(\frac{3-3e}{4}\right)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x+\frac{3-3e}{4}\right)^2=3m+\frac{3e}{2}-\frac{1}{2}+\frac{9-18e+9e^2}{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x+\frac{3-3e}{4}\right)^2=\frac{48m+24e-8+9-18e+9e^2}{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x+\frac{3-3e}{4}\right)^2=\frac{48m+9e^2+6e+1}{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x+\frac{3-3e}{4}\right)^2=\frac{48m+(3e+1)^2}{16}\]

Y de aquí:

\[x+\frac{3-3e}{4}=\frac{\sqrt{48m+(3e+1)^2}}{4}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{\sqrt{48m+(3e+1)^2}+3e-3}{4}\]

Recordemos que \(m=8-4=4\) y que \(e=4\). Por tanto:

\[x=\frac{\sqrt{192+169}+9}{4}=\frac{\sqrt{361}+9}{4}=\frac{19+9}{4}=\frac{28}{4}=7\]

Por tanto, \(B\) tardará \(7\) días en alcanzar a \(A\).

Problema LII

Dada la suma de los cuadrados (que llamaremos \(a\)) y el producto (que llamaremos \(b\)) de cuatro números en progresión aritmética, encontrar dichos números.

La solución aquí

La solución aquí

Designemos la diferencia común por \(2x\) y el extremo menor por \(y-3x\). Entonces, los otros tres términos de la progresión se designarán por \(y-x\), \(y+x\), \(y+3x\), respectivamente.

Por tanto, atendiendo a las condiciones del problema, tendremos:

\[\begin{cases}(y-3x)^2+(y-x)^2+(y+x)^2+(y+3x)^2=a\\(y-3x)(y-x)(y+x)(y+3x)=b\end{cases}\]

Eliminando paréntesis y reduciendo términos se llega a

\[\begin{cases}4y^2+20x^2=a\\y^4-10y^2x^2+9x^4=b\end{cases}\]

A partir de la primera ecuación, resulta que

\[y^2=\frac{1}{4}a-5x^2\]

Por tanto, elevando la expresión anterior al cuadrado,

\[y^4=\frac{1}{16}a^2-\frac{5}{2}ax^2+25x^4\]

Sustituyendo estas dos expresiones en la segunda ecuación tenemos

\[\frac{1}{16}a^2-\frac{5}{2}ax^2+25x^4-\frac{5}{2}ax^2+50x^4+9x^4=b\]

de donde se obtiene

\[84x^4-5ax^2+\frac{1}{16}a^2=b\]

Por tanto,

\[x^4-\frac{5ax^2}{84}=\frac{b-\frac{1}{16}a^2}{84}\Rightarrow x^4-\frac{5ax^2}{84}=\frac{b}{84}-\frac{a^2}{16\cdot84}\]

y, completando cuadrados, resulta

\[x^4-\frac{5ax^2}{84}+\frac{25a^2}{4\cdot84\cdot84}=\frac{b}{84}-\frac{a^2}{16\cdot84}+\frac{25a^2}{4\cdot84\cdot84}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^4-\frac{5ax^2}{84}+\frac{25a^2}{4\cdot84\cdot84}=\frac{b}{84}+\frac{a^2}{84\cdot84}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x^2-\frac{5a}{2\cdot84}\right)^2=\frac{84b+a^2}{84\cdot84}\]

Y de aquí obtenemos que

\[x^2-\frac{5a}{2\cdot84}=\frac{\mp\sqrt{84b+a^2}}{84}\Rightarrow x^2=\frac{5a\mp2\sqrt{84b+a^2}}{168}\]

Por tanto,

\[x=\sqrt{\frac{5a\mp2\sqrt{84b+a^2}}{168}}\]

valor que es conocido puesto que se conoce \(a\) (suma de los cuadrados de los cuatro números).

Entonces,

\[y=\sqrt{\frac{1}{4}a-5x^2}\]

también es conocido.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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