Resolución de problemas de segundo grado

Sea \(x\) el exceso de la parte mayor sobre \(50\), la mitad del número dado. Entonces, la parte mayor será \(50+x\) y la menor \(50-x\). Por tanto, atendiendo al enunciado del problema:

\[(50+x)(50-x)=2100\Rightarrow2500-x^2=2100\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2=400\Rightarrow x=\sqrt{400}=20\]

En definitiva, \(50+x=70\) es la parte mayor, y \(50-x=30\) la menor.

Sea \(x\) el número menor y \(x+12\) el mayor. Entonces, atendiendo al enunciado del problema

\[(x+12)^2+x^2=1424\Rightarrow 2x^2+24x+144=1424\Rightarrow x^2+12x=640\]

La última expresión, completando cuadrados, se convierte en

\[x^2+12x+36=640+36\Rightarrow x^2+12x+36=676\Rightarrow(x+6)^2=676\]

Y de aquí, por extracción de la raíz cuadrada de los dos miembros, resulta que \(x+6=26\). Por tanto, \(x=20\) y \(x+12=32\) son los dos números buscados ya que:

\[\begin{cases}32-20=12\\32^2+20^2=1424\end{cases}\]

Expresemos los números de la forma \(a+x\) y \(a-x\), donde \(a\) es la mitad de la suma de dichos números. Designemos la suma de sus cubos por \(c\). Por tanto:

\[(a-x)^3+(a+x)^3=c\]

Desarrollando y reduciendo términos semejantes, resulta:

\[a^3-3a^2x+3ax^2-x^3+a^3+3a^2x+3ax^2+x^3=c\Rightarrow2a^3+6ax^2=c\]

Entonces:

\[6ax^2=c-2a^3\Rightarrow x^2=\frac{c-2a^3}{6a}=\frac{c}{6a}-\frac{a^2}{3}\]

Luego

\[x=\sqrt{\frac{c}{6a}-\frac{a^2}{3}}\]

Si uno de los números es \(x\), el otro será \(a-x\). Entonces, por las condiciones del problema, tendremos que

\[\frac{x}{x-a}+\frac{a-x}{x}=b\]

Quitando denominadores, trasponiendo términos y extrayendo factor común:

\[\frac{x^2}{x(a-x)}+\frac{(a-x)^2}{x(a-x)}=\frac{bx(a-x)}{x(a-x)}\Rightarrow x^2+a^2-2ax+x^2=abx-bx^2\]

\[\Rightarrow2x^2+bx^2-2ax-abx=-a^2\Rightarrow(2+b)x^2-(2+b)ax=-a^2\]

Ahora, dividiendo los dos miembros por \(2+b\):

\[x^2-ax=-\frac{a^2}{2+b}\]

Completando cuadrados se llega a que

\[x^2-ax+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2+b}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x-\frac{a}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2+b}\]

de donde

\[x-\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2+b}}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2+b}}\]

En el caso de \(a=80\) y de \(b=\frac{10}{3}\)

\[x=\frac{80}{2}\pm\sqrt{\frac{80^2}{4}-\frac{80^2}{2+\frac{10}{3}}}=40\pm\sqrt{1600-1200}=40\pm20\]

Por tanto, los dos números que se encuentran son \(x=60\) y \(x=20\).

Sea \(D\) el punto de encuentro.

Sean \(a=4\) horas, \(b=9\) horas y llamemos \(x\) al número de horas que viajan hasta el punto de encuentro \(D\) (tiempo común para ambos viajeros). Entonces, como las distancias recorridas con el mismo movimiento uniforme están siempre una a otra como los tiempos en que se describen (en un movimiento uniforme los espacios son proporcionales a los tiempos):

\[\frac{BD}{DC}=\frac{x}{a}\]

Por la misma razón:

\[\frac{BD}{DC}=\frac{b}{x}\]

Por tanto:

\[\frac{x}{a}=\frac{b}{x}\]

De donde, \(x^2=ab\) y \(x=\sqrt{ab}\). Entonces \(x=\sqrt{36}=6\), con lo que \(a+x=10\) horas y \(b+x=15\) horas, que son los dos números buscados.

Representemos por \(y\) el número menor y por \(x\) la diferencia de la progresión. Con esto, los cuatro números se expresarán así: \(y\), \(y+x\), \(y+2x\), \(y+3x\). Entonces, por las condiciones del problema, tenemos las dos ecuaciones siguientes:

\[y(y+3x)=a\Rightarrow y^2+3xy=a\]

\[(y+x)(y+2x)=b\Rightarrow y^2+3xy+2x^2=b\]

Restando la primera de la segunda ecuación, resulta \(2x^2=b-a\). Por consiguiente:

\[x=\sqrt{\frac{b-a}{2}}=5\]

Para calcular \(y\), en virtud de la primera ecuación tenemos, completando cuadrados, que

\[y^2+3xy=a\Rightarrow y^2+2\frac{3}{2}xy+\frac{9}{4}x^2=a+\frac{9}{4}x^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(y+\frac{3}{2}x\right)^2=a+\frac{9}{4}x^2\Rightarrow y=\sqrt{a+\frac{9}{4}x^2}-\frac{3}{2}x\]

Sustituyendo \(a\) por \(3250\) y \(x\) por \(5\):

\[y=\sqrt{3250+\frac{225}{4}}-\frac{15}{2}=\sqrt{\frac{13225}{4}}-\frac{15}{2}=\frac{115}{2}-\frac{15}{2}=50\]

En consecuencia, los cuatro números son \(50\), \(55\), \(60\) y \(65\).

Designemos por \(e\) la diferencia de la progresión \(8\), \(12\), \(16\), etc., y por \(m\) a la diferencia entre el primer término de la progresión y la diferencia de la progresión. Sea \(x\) el número de días que viaja cada persona. Entonces, la suma de esta progresión, o el número de millas que recorre \(A\), será

\[xm+\frac{x(x+1)e}{2}\qquad(1)\]

Vamos a hacer un inciso para aclarar de dónde sale la expresión anterior. La suma \(S\) de los \(n\) primeros términos de una progresión aritmética de diferencia \(d\) viende dada por la fórmula

\[S=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\]

Entonces:

\[S=\frac{(a_1+a_1+(n-1)d)n}{2}=\frac{(2a_1+nd-d)n}{2}=\frac{2a_1n+n^2d-nd}{2}=\]

\[=\frac{2a_1n-2nd+n^2d+nd}{2}=\frac{2n(a_1-d)+nd(n+1)}{2}=\]

\[=n(a_1-d)+\frac{n(n+1)d}{2}\]

En el caso del viajero \(A\), \(n=x\), \(a_1-d=m\) y \(d=e\). Sustituyendo se obtiene la expresión \((1)\) o el número de millas que recorre \(A\).

La suma \(1+4+9+\ldots+x^2\), o la distancia recorrida por \(B\), será:

\[\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\qquad(2)\]

Para ver una demostración de la expresión \((2)\), ver el artículo suma de los cuadrados de los n primeros números naturales.

Entonces, atendiendo a la pregunta del problema, tendremos:

\[\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}=mx+\frac{x(x+1)e}{2}\]

de donde, dividiendo los dos miembos por \(x\) y operando, resulta:

\[\frac{2x^2+3x+1}{6}=m+\frac{ex+e}{2}\]

Eliminando denominadores y operando:

\[2x^2+3x+1=6m+3ex+3e\Rightarrow2x^2+3x-3ex=6m+3e-1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2+\frac{3x-3ex}{2}=3m+\frac{3e}{2}-\frac{1}{2}\]

Ahora, completando cuadrados, resulta:

\[x^2+\frac{3x-3ex}{2}+\left(\frac{3-3e}{4}\right)^2=3m+\frac{3e}{2}-\frac{1}{2}+\left(\frac{3-3e}{4}\right)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x+\frac{3-3e}{4}\right)^2=3m+\frac{3e}{2}-\frac{1}{2}+\frac{9-18e+9e^2}{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x+\frac{3-3e}{4}\right)^2=\frac{48m+24e-8+9-18e+9e^2}{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x+\frac{3-3e}{4}\right)^2=\frac{48m+9e^2+6e+1}{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x+\frac{3-3e}{4}\right)^2=\frac{48m+(3e+1)^2}{16}\]

Y de aquí:

\[x+\frac{3-3e}{4}=\frac{\sqrt{48m+(3e+1)^2}}{4}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{\sqrt{48m+(3e+1)^2}+3e-3}{4}\]

Recordemos que \(m=8-4=4\) y que \(e=4\). Por tanto:

\[x=\frac{\sqrt{192+169}+9}{4}=\frac{\sqrt{361}+9}{4}=\frac{19+9}{4}=\frac{28}{4}=7\]

Por tanto, \(B\) tardará \(7\) días en alcanzar a \(A\).

Designemos la diferencia común por \(2x\) y el extremo menor por \(y-3x\). Entonces, los otros tres términos de la progresión se designarán por \(y-x\), \(y+x\), \(y+3x\), respectivamente.

Por tanto, atendiendo a las condiciones del problema, tendremos:

\[\begin{cases}(y-3x)^2+(y-x)^2+(y+x)^2+(y+3x)^2=a\\(y-3x)(y-x)(y+x)(y+3x)=b\end{cases}\]

Eliminando paréntesis y reduciendo términos se llega a

\[\begin{cases}4y^2+20x^2=a\\y^4-10y^2x^2+9x^4=b\end{cases}\]

A partir de la primera ecuación, resulta que

\[y^2=\frac{1}{4}a-5x^2\]

Por tanto, elevando la expresión anterior al cuadrado,

\[y^4=\frac{1}{16}a^2-\frac{5}{2}ax^2+25x^4\]

Sustituyendo estas dos expresiones en la segunda ecuación tenemos

\[\frac{1}{16}a^2-\frac{5}{2}ax^2+25x^4-\frac{5}{2}ax^2+50x^4+9x^4=b\]

de donde se obtiene

\[84x^4-5ax^2+\frac{1}{16}a^2=b\]

Por tanto,

\[x^4-\frac{5ax^2}{84}=\frac{b-\frac{1}{16}a^2}{84}\Rightarrow x^4-\frac{5ax^2}{84}=\frac{b}{84}-\frac{a^2}{16\cdot84}\]

y, completando cuadrados, resulta

\[x^4-\frac{5ax^2}{84}+\frac{25a^2}{4\cdot84\cdot84}=\frac{b}{84}-\frac{a^2}{16\cdot84}+\frac{25a^2}{4\cdot84\cdot84}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^4-\frac{5ax^2}{84}+\frac{25a^2}{4\cdot84\cdot84}=\frac{b}{84}+\frac{a^2}{84\cdot84}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x^2-\frac{5a}{2\cdot84}\right)^2=\frac{84b+a^2}{84\cdot84}\]

Y de aquí obtenemos que

\[x^2-\frac{5a}{2\cdot84}=\frac{\mp\sqrt{84b+a^2}}{84}\Rightarrow x^2=\frac{5a\mp2\sqrt{84b+a^2}}{168}\]

Por tanto,

\[x=\sqrt{\frac{5a\mp2\sqrt{84b+a^2}}{168}}\]

valor que es conocido puesto que se conoce \(a\) (suma de los cuadrados de los cuatro números).

Entonces,

\[y=\sqrt{\frac{1}{4}a-5x^2}\]

también es conocido.