Resolución de ecuaciones (2)

\[\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(x-4)}{6}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\Rightarrow \frac{x-4}{12}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\]

Multiplicando por \(12\) todos los términos de la ecuación:

\[x-4-8=12-9(-2x+1)\Rightarrow x-12=12+18x-9\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-17x=15\Rightarrow x=-\frac{15}{17}\]

\[\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x}{3}+5}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{4}-2\right)}{3}\Rightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x+15}{3}}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{3x-8}{4}}{6}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{2x+15}{15}=1-\frac{3x-8}{24}\]

Multiplicando todos los términos por \(120\), que es el mínimo común múltiplo de \(24\) y \(15\):

\[8(2x+15)=120-5(3x-8)\Rightarrow 16x+120=120-15x+40\Rightarrow\]

\[\Rightarrow31x=40\Rightarrow x=\frac{40}{31}\]

\[\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\Rightarrow \frac{1}{x(x-1)}-\frac{1}{x-1}=0\]

Multiplicando todos los términos por \(x(x-1)\), tenemos:

\[\frac{x(x-1)}{x(x-1)}-\frac{x(x-1)}{x-1}=0\Rightarrow 1-x=0\Rightarrow x=1\]

Pero para \(x=1\) tendríamos la igualdad

\[\frac{1}{0}-\frac{1}{0}=0\]

Igualdad que no tiene sentido. Por tanto la ecuación \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\) no tiene solución.

Para resolver esta ecuación sacaremos factor común \(x^2\):

\[x^4-81x^2=0\Rightarrow x^2(x^2-81)\Rightarrow\begin{cases}x^2=0\Rightarrow x=0\\x^2-81=0\Rightarrow x^2=81\Rightarrow x=\pm9\end{cases}\]

Multiplicando todos los térmios por \(x^2\):

\[x^4+4=5x^2\Rightarrow x^2-5x^2+4=0\Rightarrow\left(x^2\right)^2-5x^2+4=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2}=\]

\[=\frac{5\pm3}{2}=\begin{cases}\frac{5+3}{2}=4\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\\ \frac{5-3}{2}=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\end{cases}\]

Obsérvese que \(1-x=-(x-1)\), con lo que la ecuación la podemos escribir así:

\[\frac{x^2(2x-5)}{x+1}=\frac{-9(x-1)}{2x+5}\]

Multiplicando en cruz:

\[x^2(4x^2-25)=-9(x^2-1)\Rightarrow 4x^4-25x^2=-9x^2+9\Rightarrow \]

\[\Rightarrow4x^4-16x^2-9=0\Rightarrow4\left(x^2\right)^2-16x-9=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^2-4\cdot4\cdot(-9)}}{2\cdot4}=\frac{16\pm\sqrt{256+144}}{8}=\]

\[=\frac{16\pm\sqrt{400}}{8}=\frac{16\pm20}{8}=\begin{cases}\frac{16+20}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}\\\frac{16-20}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\begin{cases}x^2=\frac{9}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}\\x^2=-\frac{1}{2}\Rightarrow \nexists\, x\in\mathbb{R}:x^2=-\frac{1}{2}\end{cases}\]

La ecuación original tiene por tanto dos soluciones: \(\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx2,12\,\); \(\displaystyle-\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx-2,12\)

Multiplicando todos los terminos por \(3x^2\):

\[3+x^4=28x\Rightarrow x^4-28x+3=0\]

La ecuación anterior no es bicuadrada. Hemos de intentar pues buscar las raíces del polinomio \(x^4-28x+3\) (que serán también las soluciones de la ecuación anterior). Como se sabe, las raíces enteras han de ser divisores del término independiente, es decir, de \(3\). Como \(3^4-28\cdot3+3=81-84+3=0\), por el teorema del resto, \(x=3\) es una raíz de \(x^4-28x+3\) (y por tanto también una solución de la ecuación). Aplicando la regla de Ruffini:

Entonces \(x^4-28x+3=(x-3)(x^3+3x^2+9x-1)\). El polinomio \(x^3+3x^2+9x-1\) no tiene raíces enteras pues no lo son ni \(1\), ni \(-1\) (compruébese). Como tampoco disponemos de ningún método para resolver una ecuación de tercer grado, concluímos que la solución de la ecuación es \(x=3\).

\[6+\sqrt{2x+3}=x\Rightarrow\sqrt{2x+3}=x-6\Rightarrow(x-6)^2=\sqrt{2x+3}^2\Rightarrow \]

\[\Rightarrow x^2-12x+36=2x+3\Rightarrow x^2-14x+33=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{14\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot1\cdot33}}{2\cdot1}=\frac{14\pm\sqrt{196-132}}{2}=\frac{14\pm\sqrt{64}}{2}=\]

\[=\frac{14\pm8}{2}=\begin{cases}x_1=11\\x_2=3\end{cases}\]

\(x=11\) sí que es solución pues satisface la ecuación inicial:

\[6+\sqrt{2\cdot11+3}=6+\sqrt{22+3}=6+\sqrt{25}=6+5=11\]

\(x=3\) no es solución pues no satisface la ecuación inicial:

\[6+\sqrt{2\cdot3+3}=6+\sqrt{6+3}=6+\sqrt{9}=6+3=9\]

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

\[\left(\sqrt{9-x}\right)^2=\left(\sqrt{6-x}+\sqrt{3}\right)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 9-x=6-x+2\sqrt{3}\sqrt{6-x}+3\Rightarrow2\sqrt{18-3x}=0\]

Volviendo a elevar al cuadrado:

\[\left(2\sqrt{18-3x}\right)^2=0^2\Rightarrow4(18-3x)=0\Rightarrow72-12x=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-12x=-72\Rightarrow x=6\]

Efectivamente \(x=6\) es solución pues verifica la ecuación inicial:

\[\sqrt{9-6}=\sqrt{3}\quad;\quad\sqrt{6-6}+\sqrt{3}=0+\sqrt{3}=\sqrt{3}\]

Esta es muy fácil pues queda una ecuación de primer grado elevando ambos miebros al cuadrado:

\[\left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)^2=2^2\Rightarrow\frac{x+1}{x-1}=4\Rightarrow x+1=4x-4\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-3x=-5\Rightarrow x=\frac{5}{3}\]

Efectivamente, \(\displaystyle x=\frac{5}{3}\) es solución pues

\[\sqrt{\frac{\frac{5}{3}+1}{\frac{5}{3}-1}}=\sqrt{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2\]

Dos números enteros consecutivos son, por ejemplo, \(x\) y \(x+1\). Así pues:

\[x(x+1)=380\Rightarrow x^2+x=380\Rightarrow x^2+x-380=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-380)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt{1+1520}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{1521}}{2}=\]

\[=\frac{-1\pm39}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{-1+39}{2}=\frac{38}{2}=19\\x_2=\frac{-1-39}{2}=\frac{-40}{2}=-20\end{cases}\]

Por tanto hay dos posibles soluciones. Que los dos números sean \(x=19\) y \(x+1=20\). O bien que ambos números sean \(x=-20\) y \(x+1=-19\). Obsérvese que en ambos casos el producto es \(380\).

Supongamos que \(a\) es la medida de un lado y que \(b\) es la medida del otro.

Entonces el perímetro es \(a+b+a+b=2a+2b\). Como éste mide \(78\ \text{m}.\), entonces \(2a+2b=78\), de donde, dividiendo todos los términos entre \(2\), \(a+b=39\), es decir \(b=39-a\).

Por otro lado, el área es \(360\,\text{m}^2.\) O sea:

\[ab=360\Rightarrow a(39-a)=360\Rightarrow 39a-a^2=360\Rightarrow a^2-39a+360=0\]

Resolviendo esta ecuación de segundo grado:

\[a=\frac{39\pm\sqrt{(-39)^2-4\cdot1\cdot360}}{2\cdot1}=\frac{39\pm\sqrt{1521-1440}}{2}=\frac{39\pm\sqrt{81}}{2}=\]

\[=\frac{39\pm9}{2}=\begin{cases}a_1=\frac{39+9}{2}=\frac{48}{2}=24\\a_2=\frac{39-9}{2}=\frac{30}{2}=15\end{cases}\]

Si \(a=24\), \(b=39-a=39-24=15\). Si \(a=15\), \(b=39-a=39-15=24\). En cualquier caso el lado mayor del rectángulo mide \(24\ \text{m}.\) y el lado menor \(15\ \text{m}.\)

El área \(A\) del círculo es \(A=\pi\cdot r^2\), donde \(r\) es el radio del mismo. Como nuestro círculo tiene radio \(1\ \text{m}.\), entonces el área del círculo es \(A=\pi\cdot1^2=\pi\ \text{m}^2.\)

Llamemos ahora \(l\) al lado del cuadrado. Su área es \(l^2\), que ha de ser igual al área del círculo, con lo que:

\[l^2=\pi\Rightarrow l=\sqrt{\pi}\ \text{m}^2.\]

Por supuesto el resultado es un número irracional. Con la calculadora podemos redondear el resultado a dos decimales: \(\sqrt{\pi}\approx1,77\ \text{m}^2.\)

Sean \(x\), \(x+1\), \(x+2\) las medidas de los tres lados del triángulo. El mayor de ellos, \(x+2\), ha de ser la hipotenusa. Por el teorema de Pitágoras:

\[(x+2)^2=x^2+(x+1)^2\]

Desarrollando y resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta, tenemos:

\[x^2+4x+4=x^2+x^2+2x+1\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\]

\[=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}=\begin{cases}x_1=3\\x_2=-1\end{cases}\]

La solución \(x=-1\) no es una solución válida a nuestro problema pues un triángulo no puede tener un lado de medida negativa.

De este modo las medidas de los lados del triángulo rectángulo son \(x=3\), \(x+1=4\) y \(x+2=5\).

Supondremos que se trata de un movimiento rectilíneo y uniforme en el que \(\displaystyle v=\frac{s}{t}\), donde \(v\) es la velocidad en \(\text{km/h}.\), \(s\) el espacio recorrido en \(\text{km}.\)y \(t\) el tiempo en horas empleado en recorrerlo.

Como el móvil ha recorrido \(120\,\text{km}.\), entonces:

\[\displaystyle v=\frac{120}{t}\]

Además, si hubiera ido \(10\,\text{km/h}.\) más rápido, habría tardado una hora menos, es decir:

\[v+10=\frac{120}{t-1}\]

Sustituyendo en esta última expresión \(v\) por su valor tenemos:

\[\frac{120}{t}+10=\frac{120}{t-1}\]

Multiplicando todos los términos por \(t(t-1)\):

\[120(t-1)+10t(t-1)=120t\Rightarrow120t-120+10t^2-10t=120t\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 10t^2-10t-120=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow t^2-t-12=0\Rightarrow t=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1}=\]

\[=\frac{1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{1\pm7}{2}=\begin{cases}t_1=4\\t_2=-3\end{cases}\]

La solución \(t=-3\) no es válida para nuestro problema, pues el tiempo no puede tomar un valor negativo.

Por tanto tendremos que el tiempo empleado en recorrer los \(120\,\text{km}.\) ha sido de \(t=4\) horas, a una velocidad de \(\displaystyle v=\frac{120}{4}=30\ \text{km/h}.\)