Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
En un triángulo rectángulo se suponen conocidas las longitudes de sus dos catetos, a y b, y de la hipotenusa, c. Hallar la longitud del radio, r, del círculo inscrito en este mismo triángulo.
La solución aquí
La solución aquí
Para hallar el valor del radio del círculo inscrito en el triángulo vamos a “trocear” tal triángulo del modo que se indica en la figura siguiente:
El área del triángulo ABC es igual a la suma de las áreas de los triángulos AOE, AOB, BOD, y del cuadrado CDOE. Esto nos lleva a la siguiente igualdad:
\[\frac{ab}{2}=\frac{r(b-r)}{2}+\frac{cr}{2}+\frac{(a-r)r}{2}+r^2\]
Eliminando denominadores y paréntesis se tiene:
\[ab=rb-r^2+cr+ar-r^2+2r^2\Rightarrow ab=r(a+b+c)\]
Igualdad esta última de la que se deduce que el valor del radio es:
\[r=\frac{ab}{a+b+c}\]
Buenas tardes, como seria la ecuacion si se tuviera el radio?
Cordial saludo
Si se tuviera el radio, para conocer la longitud de uno de los lados, se debería de conocer la longitud de los otros dos. En este caso bastaría despejar tal lado, ya sea \(a\), \(b\) o \(c\), de la ecuación \(r=\frac{ab}{a+b+c}\). Por ejemplo, si se conocen el radio y los lados \(a\) y \(c\), podemos hallar \(b\) del siguiente modo:
\[r=\frac{ab}{a+b+c}\Rightarrow r(a+c)+rb=ab\Rightarrow\]
\[\Rightarrow ab-rb=r(a+c)\Rightarrow b=\frac{r(a+c)}{a-r}\]
Excelente explicación. Muy clara y sencilla.