Racionalización de denominadores usando el método del conjugado.

Radicales. Racionalización de denominadores

Sabemos que la raíz de dos es un número irracional que tiene, por tanto, infinitas cifras decimales:

\[\sqrt{2}=1,4142135623730950488\ldots\]

Redondeado \(\sqrt{2}\) a las décimas tenemos la aproximación

\[\sqrt{2}=1,4\]

Aproximación en la que se comete un error absoluto menor que \(5\) centésimas. Es decir, una cota del error es \(0,05\) (para saber más sobre errores y valores aproximados haz clic aquí). Esta aproximación ya la conocían en la antigüedad y, además, es bastante buena. Del mismo modo disponían de aproximaciones para \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{7}\), etc.

\[\sqrt{3}=1,7\]

\[\sqrt{5}=2,2\]

\[\sqrt{7}=2,6\]

A veces había que hacer operaciones con estos números. Por ejemplo, efecturar la división \(\displaystyle 4:\sqrt{2}=\frac{4}{\sqrt{2}}\). Y no se disponía de calculadoras. Esto lleva su trabajo porque tenemos que dividir un entero entre un decimal:

Pero se puede obtener una expresión equivalente a \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}\). Basta multiplicar el numerador y el denominador por \(\sqrt{2}\). Veámoslo:

\[\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{2}=2\cdot\sqrt{2}\]

Es mucho más fácil multiplicar por \(2\) que dividir por \(\sqrt{2}\), aunque tomemos de esta última una aproximación con un solo decimal. De este modo \(\displaystyle 4:\sqrt{2}=2\cdot\sqrt{2}=2\cdot1,4=2,8\).

Este proceso recibe el nombre de racionalización. Consiste en eliminar las raíces cuadradas del divisor, o si se quiere, del denominador, obteniendo una expresión equivalente más sencilla de manejar. Veremos aquí tres casos de racionalización.

Primer caso

En el denominador aparece solamente una raíz cuadrada, incluso si se quiere multiplicada por un número.

Para resolver este caso se multiplica numerador y denominador por la raíz cuadrada que aparece en el denominador:

\[\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c^2}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\,c}\]

Segundo caso

En el denominador aparece solamente una raíz de índice \(n\), incluso si se quiere multiplicada por un número.

Para resolver este caso se multiplica numerador y denominador por la raíz adecuada de índice \(n\) hasta conseguir eliminarla del denominador:

\[\frac{a}{b\sqrt[n]{c}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-1}}}{b\sqrt[n]{c}\sqrt[n]{c^{n-1}}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-1}}}{b\sqrt[n]{c^n}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-1}}}{b\,c}\]

En general, y suponiendo que el índice es mayor que el exponente al que está elevado el radicando (\(n>p\)). En caso contrario se pueden extraer factores del radical y se reduce a este caso:

\[\frac{a}{b\sqrt[n]{c^p}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-p}}}{b\sqrt[n]{c^p}\sqrt[n]{c^{n-p}}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-p}}}{b\sqrt[n]{c^n}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-p}}}{b\,c}\]

Tercer caso

En el denominador aparece un binomio, uno de cuyos términos (o los dos) contiene una raíz cuadrada incluso multiplicada por un número.

Para resolver este caso se multiplica numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador (recuérdese que el conjugado de \(a+b\) es \(a-b\) y viceversa):

\[\frac{a}{b\sqrt{x}+c\sqrt{y}}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x}+c\sqrt{y})(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x})^2-(c\sqrt{y})^2}=\]

\[=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{b^2\sqrt{x^2}-c^2\sqrt{y^2}}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{b^2x+c^2y}\]

Se ha utilizado para simplificar el denominador que «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadradados»: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

Hagamos tres ejemplos concretos de racionalización de expresiones con radicales, que ilustre cada uno de ellos los tres casos anteriores.

Supongamos pues que nos piden racionalizar, y simplificar a ser posible, las expresiones siguientes:

\[\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{30}}\quad;\quad\frac{\sqrt{8}}{2\sqrt[6]{4}}\quad;\quad\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6-\sqrt{6}}\]

Entonces:

\[\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{30}}=\frac{2\sqrt{5}\sqrt{30}}{5\sqrt{30}\sqrt{30}}=\frac{2\sqrt{150}}{5\sqrt{30^2}}=\frac{2\sqrt{2\cdot3\cdot5^2}}{5\cdot30}=\]

\[=\frac{2\cdot5\sqrt{6}}{150}=\frac{10\sqrt{6}}{150}=\frac{\sqrt{6}}{15}\]

\[\frac{\sqrt{8}}{2\sqrt[6]{4}}=\frac{\sqrt{2^3}}{2\sqrt[6]{2^2}}=\frac{\sqrt{2^3}\sqrt[6]{2^4}}{2\sqrt[6]{2^2}\sqrt[6]{2^4}}=\frac{\sqrt[6]{2^9}\sqrt[6]{2^4}}{2\sqrt[6]{2^6}}=\]

\[=\frac{\sqrt[6]{2^{13}}}{2\cdot2}=\frac{2^2\sqrt[6]{2}}{4}=\frac{4\sqrt[6]{2}}{4}=\sqrt[6]{2}\]

\[\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6-\sqrt{6}}=\frac{(9\sqrt{3}-3\sqrt{2})(6+\sqrt{6})}{(6-\sqrt{6})(6+\sqrt{6})}=\]

\[=\frac{54\sqrt{3}+9\sqrt{18}-18\sqrt{2}-3\sqrt{12}}{6^2-(\sqrt{6})^2}=\]

\[=\frac{54\sqrt{3}+9\sqrt{3^2\cdot2}-18\sqrt{2}-3\sqrt{2^2\cdot3}}{36-6} =\]

\[=\frac{54\sqrt{3}+9\cdot3\sqrt{2}-18\sqrt{2}-3\cdot2\sqrt{3}}{30}=\]

\[=\frac{54\sqrt{3}+27\sqrt{2}-18\sqrt{2}-6\sqrt{3}}{30} =\frac{48\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{30}=\frac{16\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{10}\]

En este enlace puedes encontrar una relación de ejercicios de operaciones con radicales. El tercer ejercicio de la relación contiene 12 expresiones con radicales para racionalizar y simplificar. Además se da la solución final de cada una de ellas.