Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Decir que la raíz de índice \(n\) del número complejo \(r_{\alpha}\) es el número complejo \(R_{\beta}\) es lo mismo que decir que la potencia de exponente \(n\) de \(R_{\beta}\) es igual a \(r_{\alpha}\). Simbólicamente:
\[\sqrt[n]{r_{\alpha}}=R_{\beta}\Leftrightarrow \left(R_{\beta}\right)^n=r_{\alpha}\]
Entonces, por la potenciación de complejos en forma polar:
\[r_{\alpha}=(R^n)_{n\,\beta}\]
De la igualdad de los dos complejos anteriores dados en forma polar se deduce que los módulos de ambos han de ser iguales y que los argumentos principales han de diferenciarse en un número entero de «vueltas». Es decir:
\[r=R^n\Rightarrow R=\sqrt[n]{r}\]
\[n\beta-\alpha=360^{\text{o}}k\Rightarrow\beta=\frac{\alpha+360^{\text{o}}k}{n}\]
Las dos igualdades anteriores proporcionan el módulo y los argumentos de las raíces de índice \(n\) del número complejo \(r_{\alpha}\).
Dando a \(k\) los valores \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ n-1\), se obtienen \(n\) argumentos distintos y, por tanto, \(n\) raíces de índice \(n\) distintas del número complejo \(r_{\alpha}\). Si se le dieran a \(k\) valores iguales o superiores a \(n\), los argumentos se repetirían, por ser suma de un número entero de «vueltas» con alguno de los argumentos ya calculados. Así pues, podemos deducir que el número complejo \(r_{\alpha}\) tiene \(n\) raíces de índice \(n\) distintas.
- Ejemplo 8
Calcula y representa las tres raíces cúbicas del número complejo \(z=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\).
En primer lugar pasamos el número complejo a coordenadas polares.
\[z=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\Rightarrow\]
\[\Rightarrow\begin{cases}r=\sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}}=1\\ \text{tg}\,\alpha=\dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1\Rightarrow\alpha=135^{\text{o}}\end{cases}\Rightarrow\]
\[\Rightarrow z=1_{135^{\text{o}}}\]
Procedemos ahora a realizar la raíz cúbica del número complejo \(z=1_{135^{\text{o}}}\).
\[\sqrt[3]{1_{135^{\text{o}}}}=R_{\beta}\Rightarrow\begin{cases}R=\sqrt[3]{1}=1\\ \beta=\dfrac{135^{\text{o}}+365^{\text{o}}k}{3}\end{cases}\]
Ahora damos a \(k\) los valores \(0,\ 1,\ 2\) para obtener los argumentos de las tres raíces de \(z=1_{135^{\text{o}}}\).
\[k=0\Rightarrow \beta_1=45^{\text{o}}\Rightarrow r_1=1_{45^{\text{o}}}=\]
\[=1\cdot(\text{cos}\,45^{\text{o}}+i\,\text{sen}\,45^{\text{o}})=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[k=1\Rightarrow \beta_2=165^{\text{o}}\Rightarrow r_2=1_{165^{\text{o}}}=1\cdot(\text{cos}\,165^{\text{o}}+i\,\text{sen}\,165^{\text{o}})=\]
\[=-\text{cos}\,15^{\text{o}}+i\,\text{sen}\,15^{\text{o}}\approx-0.9659+0.2588i\]
\[k=2\Rightarrow \beta_4=285^{\text{o}}\Rightarrow r_3=1_{285^{\text{o}}}=1\cdot(\text{cos}\,285^{\text{o}}+i\,\text{sen}\,285^{\text{o}})=\]
\[=\text{cos}\,75^{\text{o}}-i\,\text{sen}\,75^{\text{o}}\approx0.2588-0.9659i\]
La representación gráfica de las tres raíces del número complejo \(z=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\) es la siguiente (el radio de la circunferencia es 1, que es el módulo común de cada una de las tres raíces y \(A\), \(B\), \(C\) son sus afijos):
Como colofón a este curso se proponen a continuación un par de ejercicios. Las soluciones completamente desarrolladas se pueden ver haciendo clic en los enlaces correspondientes.
Ejercicio 1. Realiza la siguiente operación con números complejos, expresando el resultado en forma polar y trigonométrica:
\[\sqrt[5]{\dfrac{-8-8\sqrt{3}i}{\left(-2\sqrt{3}+2i\right)^2}}\]
Ejercicio 2. Encuentra las posibles soluciones, en forma binómica, de la siguiente ecuación:
\[z^5+125z^2\]
Las soluciones las puedes encontrar aquí (ejercicios 5 y 6).
← 6. Potenciación de números complejos en forma polar. Fórmula de Moivre
