Progresiones geométricas

Definición

Un par de ejemplos de progresiones geométricas pueden ser los siguientes:

• Primer término \(2\) y razón \(2\): \(\{2,\,4,\,8,\,16,\,32,\,64,\,128,\ldots\}\)
• Primer término \(\dfrac{1}{2}\) y razón \(\dfrac{1}{2}\): \(\left\{\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{8},\,\dfrac{1}{16},\,\dfrac{1}{32},\,\dfrac{1}{64},\ldots\right\}\)

Llamaremos términos de la progresión a cada uno de los números que la forman y los simbolizaremos mediante letras afectadas de subíndices:

\[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\ldots\]

Con esta notación podemos definir una progresión geométrica como una sucesión de números \(a_1,\,a_2,\,a_3,\ldots\) donde \(a_{i+1}=a_i\cdot r,\ \forall\ i\in\mathbb{N}\).

Obsérvese que \(a_n\) es el término que ocupa el lugar \(n\). Además, la letra \(n\) indica el número de términos de la progresión que estamos considerando. Por ejemplo, si \(a_1=-3\), \(r=3\) y \(n=5\), la progresión geométrica es:

\[\{a_1=-3,\,a_2=-9,\,a_3=-27,\,a_4=-81,\,a_5=-243,\,a_6=-729\}\]

Término general de una progresión geométrica

Conocido el primer término de una progresión geométrica y la razón, es fácil obtener cualquier otro término. Basta hallar \(a_2\), luego \(a_3\), etc., hasta llegar al término que se quiera. Pero nos interesaría un método más rápido. Como cada término se obtiene del anterior multiplicando por \(r\), podemos escribir la progresión utilizando únicamente \(a_1\) y \(r\):

\[a_1,\,a_2=a_1\cdot r,\,a_3=a_2\cdot r=a_1\cdot r^2,\]

\[a_4=a_3\cdot r=a_1\cdot r^3,\,a_5=a_4\cdot r=a_1\cdot r^4,\ldots\]

De lo anterior se deduce que el término que ocupa el lugar \(n\) será

\[a_n=a_1\cdot r^{n-1}\]

Así, los términos generales de las progresiones geométricas de los dos ejemplos anteriores son:

• \(a_n=2\cdot2^{n-1}\Rightarrow a_n=2^n\)
• \(a_n=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\Rightarrow a_n=\dfrac{1}{2^n}\)

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma \(S\) de los términos de una progresión geométrica se pueden escribir, obviamente, así:

\[S=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\]

expresión que, utilizando la fórmula del término general también es igual que

\[S=a_1+a_1\cdot r+a_1\cdot r^2+\ldots+a_1\cdot r^{n-3}+a_1\cdot r^{n-2}+a_1\cdot r^{n-1}\]

Si multiplicamos todos los términos de la expresión anterior por la razón \(r\) tenemos

\[S\cdot r=a_1\cdot r+a_1\cdot r^2+a_1\cdot r^3+\ldots+a_1\cdot r^{n-2}+a_1\cdot r^{n-1}+a_1\cdot r^n\]

Efectuando ahora la diferencia \(S\cdot r-S\) se obtiene claramente que \(S\cdot r-S=a_1\cdot r^n-a_1\) (todos los términos intermedios se cancelan). Despejando ahora \(S\) de esta última igualdad obtenemos una fórmula para la suma de los \(n\) primeros términos de una progresión geométrica:

\[S\cdot r-S=a_1\cdot r^n-a_1\Rightarrow S(r-1)=a_1(r^n-1)\Rightarrow S=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\]

Esta fórmula se puede expresar de otra manera equivalente. Teniendo en cuenta que \(a_n=a_1r^{n-1}\):

\[S=\frac{a_nr-a_1}{r-1}\]

Así, por ejemplo, la suma \(2+6+18+54+162+486=728\) se puede calcular también, utilizando cualquiera de las dos fórmulas anteriores, así:

\[S=\frac{2(3^6-1)}{3-1}=\frac{2\cdot728}{2}=728\quad\text{;}\quad S=\frac{486\cdot3-2}{3-1}=\frac{1456}{2}=728\]