Progresiones aritméticas

Definición

Algunos ejemplos de progresiones aritméticas pueden ser los siguientes:

• Primer término \(6\) y diferencia \(3\): \(\{6,\,9,\,12,\,15,\,18,\,21,\ldots\}\)
• Primer término \(14\) y diferencia \(-4\): \(\{14,\,10,\,6,\,2,\,-2,\,-6,\ldots\}\)
• Primer término \(0\) y diferencia \(\dfrac{1}{2}\): \(\left\{0,\,\dfrac{1}{2},\,1,\,\dfrac{3}{2},\,2,\,\dfrac{5}{2},\,3,\,\dfrac{7}{2},\ldots\right\}\)

Llamaremos términos de la progresión a cada uno de los números que la forman y los simbolizaremos mediante letras afectadas de subíndices:

\[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\ldots\,a_n,\ldots\]

Con esta notación podemos definir una progresión aritmética como una sucesión de números \(a_1,\,a_2,\,a_3,\ldots\) donde \(a_{i+1}=a_i+d,\ \forall\,i\in\mathbb{N}\).

Obsérvese que \(a_n\) es el término que ocupa el lugar \(n\). Además, la letra \(n\) indica el número de términos que estamos considerando. Por ejemplo, si \(a_1=-3\), \(d=3\) y \(n=6\), la progresión es:

\[\{a_1=-3,\,a_2=0,\,a_3=3,\,a_4=6,\,a_5=9,\,a_6=12\}\]

Término general de una progresión aritmética

Conocido el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, es fácil obtener cualquier otro término. Basta hallar \(a_2\), luego \(a_3\), etc., hasta llegar al término que se quiera. Pero nos interesa un método más rápido. Como cada término se obtiene del anterior sumando \(d\), podemos escribir la progresión utilizando únicamente \(a_1\) y \(d\):

\[a_1,\,a_2=a_1+d,\,a_3=a_2+d=a_1+2d,\]

\[a_4=a_3+d=a_1+3d,\,a_5=a_4+d=a_1+4d\ldots\]

De lo anterior se deduce que el término que ocupa el lugar \(n\) será

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

La fórmula anterior es un atajo para llegar a \(a_n\) si calcular términos intermedios. Recibe el nombre de término general de la progresión aritmética. Además sabiendo tres de los elementos que intervienen podemos siempre despejar el cuarto.

Así, los términos generales de las progresiónes aritméticas de los tres ejemplos anteriores son:

\(a_n=6+(n-1)\cdot3=6+3n-3\Rightarrow a_n=3n+3\)

\(a_n=14+(n-1)\cdot(-4)=14-4n+4\Rightarrow a_n=-4n+18\)

\(a_n=0+(n-1)\dfrac{1}{2}\Rightarrow a_n=\dfrac{1}{2}n-\dfrac{1}{2}\)

Suma de los términos de una progresión aritmética

La suma \(S\) de los \(n\) primeros términos de una progresión aritmética se puede escribir, obviamente, así:

\[S=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\]

Una propiedad de la progresiones es que la suma de elementos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma del primero y el último \(a_1+a_n\). Veámoslo.

Si sumamos el segundo y el penúltimo:

\[a_2+a_{n-1}=a_1+d+a_1+(n-2)d=a_1+a_1+d+nd-2d=\]

\[=a_1+a_1+nd-d=a_1+a_1+(n-1)d=a_1+a_n\]

Si sumamos el tercero y el antepenúltimo:

\[a_3+a_{n-2}=a_1+2d+a_1+(n-3)d=a_1+a_1+2d+nd-3d=\]

\[=a_1+a_1+nd-d=a_1+a_1+(n-1)d=a_1+a_n\]

Por tanto, si escribimos la suma de los \(n\) primeros términos de estas dos formas

\[S=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\]

\[S=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots+a_3+a_2+a_1\]

sumamos verticalmente término a término, y aplicamos la propiedad anterior tenemos:

\[2S=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+\ldots\]

\[\ldots+(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)=\]

\[=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\ldots\]

\[\ldots+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)\]

Como hay \(n\) términos la igualdad anterior se convierte en \(2S=n(a_1+a_n)\) y despejando \(S\) tenemos:

\[S=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\]

que es la fórmula para sumar los \(n\) primeros términos de una sucesión.

Puede servir de ejemplo sumar los \(100\) primeros naturales. Los \(100\) primeros números naturales forman obviamente una progresión aritmética de \(100\) términos donde el primero es el \(1\) y el último es el \(100\). Por tanto la suma de los \(100\) primeros naturales es

\[S=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\frac{(1+100)100}{2}=\frac{101\cdot100}{2}=\frac{10100}{2}=5050\]