Problemas de móviles

Consideraciones previas

La velocidad, el espacio y el tiempo son tres magnitudes físicas relacionadas entre sí. Llamaremos \(v\) a la velocidad, \(s\) al espacio y \(t\) al tiempo. Consideraremos que los móviles se mueven en línea recta y a velocidad constante en todo el trayecto que estén llevando a cabo (esto es lo que se llama movimiento rectilíneo y uniforme).

La velocidad del móvil es la razón entre el espacio y el tiempo: \(\displaystyle v=\frac{s}{t}\). Por ejemplo, si recorro \(200\ \text{km}\) en \(5\ \text{h}\) la velocidad es \(\displaystyle v=\frac{s}{t}=\frac{200}{5}=40\ \text{km/h.}\)

El tiempo empleado es la razón entre el espacio y la velocidad: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}\). Por ejemplo, si se recorren \(360\ \text{km}\) a una velocidad de \(90\ \text{km/h}\), el tiempo empleado es \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{360}{90}=4\ \text{h.}\)

El espacio recorrido es la velocidad multiplicada por el tiempo: \(s=v\cdot t\). Por ejemplo, si durante dos horas y media (\(2,5\ \text{h}\)), un móvil va a una velocidad de \(80\ \text{km/h}\), el espacio recorrido es \(s=v\cdot t=80\cdot2,5=200\ \text{km.}\)

Observa que:

• El espacio \(s\) y la velocidad \(v\) son magnitudes directamente proporcionales (a más velocidad, más espacio recorrido).
• El tiempo \(t\) y la velocidad \(v\) son magnitudes inversamente proporcionales (a más velocidad, menos tiempo se tarda en recorrer un determinado espacio).
• El espacio \(s\) y el tiempo \(t\) son magnitudes directamente proporcionales (a más espacio, más tiempo tardaremos en recorrerlo).

Un problema como ejemplo

Un caminante y un ciclista marchan por la misma vía. El caminante lleva una velocidad de \(4\ \text{km/h}\) y el ciclista de \(20\ \text{km/h}\).

a) Si parten al mismo tiempo, desde puntos opuestos que distan entre sí \(12\ \text{km}\), ¿cuánto tardarán en encontrarse? ¿Qué espacio habrá recorrido cada uno?

b) Si parten del mismo punto y el caminante lleva una ventaja de \(4\ \text{km}\), ¿cuánto tiempo tardará en alcanzarlo el ciclista? ¿Qué espacio habrá recorrido cada uno?

Solución:

a) Observa el la figura siguiente:

Hemos llamado \(x\) a la distancia recorrida por el caminante desde el punto de partida al punto de encuentro (marcado con un punto rojo). Entonces la distancia recorrida por el ciclista hasta el punto de encuentro será \(12-x\), pues la distancia original que separa a ambos era de \(12\ \text{km}\). Además, ha pasado el mismo tiempo \(t\) cuando llegan al punto de encuentro pues ambos partieron al mismo tiempo. Entonces, como \(\displaystyle t=\frac{s}{v}\), podemos establecer una proporción entre el espacio recorrido y la velocidad tanto del caminante como del ciclista:

\[\frac{x}{4}=\frac{12-x}{20}\Rightarrow20x=48-4x\Rightarrow24x=48\Rightarrow x=\frac{48}{24}\Rightarrow x=2\]

Esto quiere decir que el caminante habrá recorrido \(x=2\ \text{km}\), y el ciclista \(12-x=12-2=10\ \text{km}\).

El tiempo empleado es \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{2}{4}=0.5\ \text{h}\) (media hora). Hemos empleado en la fórmula el espacio y velocidad del caminante, pero si se emplea la del ciclista el resultado es el mismo: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{10}{20}=0.5\ \text{h}\).

b) Observa ahora esta otra figura:

Otra vez hemos llamado \(x\) a la distancia recorrida por el caminante desde su punto de partida (\(x=2\ \text{km}\) por delante del ciclista) al punto de encuentro. Entonces la distancia recorrida por el ciclista hasta el punto de encuentro será ahora \(4+x\). Ahora procedemos como en el apartado anterior, teniendo en cuenta que \(\displaystyle t=\frac{s}{v}\), y que el tiempo transcurrido hasta el punto de encuentro es el mismo para ambos.

\[\frac{x}{4}=\frac{4+x}{20}\Rightarrow20x=16+4x\Rightarrow16x=16\Rightarrow x=\frac{16}{16}\Rightarrow x=1\]

Esto quiere decir que el caminante ha recorrido \(x=1\ \text{km}\), y el ciclista \(x+4=1+4=5\ \text{km}\).

El tiempo empleado es \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{1}{4}=0.25\ \text{h}\) (un cuarto de hora). Hemos empleado en la fórmula el espacio y velocidad del caminante, pero si se emplea la del ciclista el resultado es el mismo: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{5}{20}=0.25\ \text{h}\).

Una observación más

El ejercicio se puede hacer utilizando la velocidad total o resultante de ambas velocidades. Veámoslo.

En el caso de que vayan en distinta dirección, la velocidad resultante se llama velocidad de encuentro y se halla sumando los módulos de ambas pues hay que tener en cuenta que tienen distinto signo al ser ambas de distinto sentido (la velocidad es una magnitud vectorial):

\[v=v_1-(-v_2)=v_1+v_2=20+4=24\ \text{km/h}\]

Ahora volvemos a aplicar nuestra fórmula: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{12}{24}=0.5\ \text{h}\) (media hora).

En el caso de que vayan en la misma dirección, la velocidad resultante se llama velocidad de alcance y se halla restando la mayor de la menor:

\[v=v_1-v_2=20-4=16\ \text{km/h}\]

Ahora volvemos a aplicar nuestra fórmula: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{4}{16}=0.25\ \text{h}\) (un cuarto de hora).

Un par de ejercicios propuestos para practicar

Ejercicio 1. De dos ciudades, distantes \(84\ \text{km}\), parten a encontrarse dos móviles, uno con velocidad de \(9\ \text{km/h}\) y otro con velocidad de \(13\ \text{km/h}\). ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse si el primero salió \(2\ \text{h}\) antes que el segundo?

Ejercicio 2. En una carretera, y por este orden, se encuentran las ciudades \(A\), \(B\) y \(C\). A las \(9\) de la mañana sale de \(B\) hacia \(C\) un móvil, con velocidad de \(15\ \text{km/h}\); \(2\ \text{h}\) después sale de \(A\) un móvil persiguiendo al anterior con velocidad \(20\ \text{km/h}\). Si la distancia \(AB\) es de \(40\ \text{km}\), ¿a qué hora alcanza el segundo móvil al primero? ¿Qué espacio habrá recorrido cada móvil?