Problema de optimización 2

El área iluminada en cada esfera es la del casquete limitado por la circunferencia de contacto del cono circuncscrito a la esfera, con el vértice en el punto luminoso \(P\).

Si \(h\) y \(h’\) son las alturas de dichos casquetes esféricos, la suma de las áreas es:

\[S=2\pi(rh+rh’)\qquad(1)\]

En la figura se tiene claramente que

\[h=r-\overline{CA}\qquad(2)\]

Por el teorema del cateto en el triángulo rectágulo \(CTP\)

\[\overline{CT}^2=\overline{CA}\cdot\overline{CP}\Rightarrow r^2=\overline{CA}\cdot x\Rightarrow\overline{CA}=\frac{r^2}{x}\]

y sustituyendo en \((2)\)

\[h=r-\frac{r^2}{x}\]

Por un razonamiento completamente análogo en la otra circunferencia se tiene que

\[h’=r’-\frac{r’^2}{d-x}\]

Sustituyendo en \((1)\)

\[S=2\pi\left(r^2+r’^2-\frac{r^3}{x}-\frac{r’^3}{d-x}\right)\]

Derivando respecto de \(x\)

\[\frac{dS}{dx}=2\pi\left(\frac{r^3}{x^2}-\frac{r’^3}{(d-x)^2}\right)\]

Como la suma de las superficies ha de ser máxima \(\displaystyle \frac{dS}{dx}=0\). Entonces

\[\frac{r^3}{x^2}-\frac{r’^3}{(d-x)^2}=0\Rightarrow r^3(d-x)^2-r’^3x^2=0\Rightarrow r^3(d-x)^2=r’^3x^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{(d-x)^2}{x^2}=\frac{r’^3}{r^3}\Rightarrow\frac{d-x}{x}=\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}\]

Hemos utilizado, para extraer la raíz cuadrada, que tanto \(x\) como \(d-x\) han de ser positivos. De la última igualdad obtenemos ahora que

\[\frac{d}{x}-1=\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}\Rightarrow\frac{d}{x}=1+\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}\Rightarrow x=\frac{d}{1+\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}}\]

La derivada segunda es

\[\frac{d^2S}{dx^2}=2\pi\left(\frac{-2r^3}{x^3}-\frac{2r’^3}{(d-x)^3}\right)=-2\pi\left(\frac{2r^3}{x^3}+\frac{2r’^3}{(d-x)^3}\right)\]

que es negativa para cualquier valor de \(x\). Por tanto el valor de \(x\) obtenido anteriormente corresponde a un máximo.

Así pues, el punto debe situarse a una distancia del centro de la primera esfera igual a

\[\frac{d}{\displaystyle 1+\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}}\]