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Problema de optimización – Matemáticas II
Enunciado. Sea \(AB\) un diámetro de una circunferencia de radio unidad, \(BD\) la tangente en \(B\), \(P\) un punto de la circunferencia, \(PD\) perpendicular a \(BD\) y \(AP\) una cuerda. Determinar \(P=(x, y)\) para que el área del trapecio rectángulo \(ABPD\) sea máxima.
Indicación. Tómese cómo origen de coordenadas el centro de la circunferencia.
Optimización: circunferencia y trapecio.
La solución aquí
La solución aquí
El área \(S\) del trapecio es \(S=\dfrac{(\text{base mayor}+\text{base menor})\cdot\text{altura}\ }{2}\). En este caso:
\[S=\frac{(BA+DP)\cdot CP}{2}=\frac{(2+1+x)\cdot y}{2}=\frac{(3+x)y}{2}\]
Si no se conoce la fórmula del área del trapecio, también se puede obtener la expresión anterior sumando el área del rectángulo \(CBDP\) y la del triángulo \(ACP\).
Por otro lado, el triángulo \(POC\) es rectángulo, con lo que:
\[x^2+y^2=1\Rightarrow y^2=1-x^2\Rightarrow y=\sqrt{1-x^2}\]
Entonces, sustituyendo en la expresión del área del trapecio:
\[S=\frac{(3+x)\sqrt{1-x^2}}{2}\]
S se puede tomar como una función «área» que depende de la coordenada \(x\) del punto \(P\) y cuyo dominio es el intervalo \([0\,,\,1]\).
Derivando:
\[S’=\frac{1}{2}\left(\sqrt{1-x^2}+(3+x)\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1-x^2-(3+x)x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\Rightarrow\]
\[\Rightarrow S’=\frac{-2x^2-3x+1}{2\sqrt{1-x^2}}\]
Igualando la derivada a cero se obtiene el valor o valores de \(x\) para los que el área del trapecio es máxima:
\[S’=0\Leftrightarrow-2x^2-3x+1=0\Rightarrow\begin{cases}x=0,28\\x=-1,78\end{cases}\]
La solución negativa correspondería a un punto que no se encuentra sobre nuestra circunferencia, o lo que es lo mismo, no pertenece al dominio de definición de \(S\), y tendría otra interpretación.
Así pues:
\[x=0,28\quad;\quad y=\sqrt{1-0,28^2}\Rightarrow y=0,96\]
Por tanto el punto \(P\) es:
\[P(0,28\ ,\ 0,96)\]
