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Sea el número complejo \(z=r\_{\alpha}\), el cual deseamos elevarlo a la potencia de exponente \(n\).
\[z^n=(r_{\alpha})^n=r_{\alpha}\cdot r_{\alpha}\cdot\ldots\cdot\,(\text{n veces})\,\cdot\ldots\cdot r_{\alpha}=(r^n)_{\alpha+\alpha+\ldots+\,(\text{n veces})\,+\ldots+\alpha}\]
Es decir, la potencia de un número complejo en forma polar se calcula del siguiente modo:
\[(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}\]
Si los dos miembros de la fórmula anterior los expresamos en forma trigonométrica se obtiene la que se conoce con el nombre de Fórmula de Moivre:
\[\left(r(\text{cos}\,\alpha+i\cdot\text{sen}\,\alpha)\right)^n=r^n(\text{cos}\,n\alpha+i\cdot\text{sen}\,n\alpha)\]
Una aplicación de la fórmula de Moivre es el cálculo de razones trigonométricas de ángulos múltiplos de otro. Así por ejemplo, si consideramos el número complejo \(1_{\alpha}=\text{cos}\,\alpha+i\cdot\text{sen}\,\alpha\) podemos elevarlo al cuadrado de dos forma distintas.
Una de ellas, utilizando el cuadrado de la suma:
\[(1_{\alpha})^2=(\text{cos}\,\alpha+i\cdot\text{sen}\,\alpha)^2=\text{cos}^2\alpha+i^2\text{sen}^2\alpha+2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{cos}\,\alpha\cdot i=\]
\[=\text{cos}^2\alpha-\text{sen}^2\alpha+2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{cos}\,\alpha\cdot i\]
La otra, utilizando la fórmula de Moivre:
\[(1_{\alpha})^2=(\text{cos}\,\alpha+i\cdot\text{sen}\,\alpha)^2=\text{cos}\,2\alpha+i\cdot\text{sen}\,2\alpha\]
Igualando las dos expresiones anteriores:
\[\text{cos}\,2\alpha+i\cdot\text{sen}\,2\alpha=\text{cos}^2\alpha-\text{sen}^2\alpha+2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{cos}\,\alpha\cdot i\]
Como los dos complejos son iguales, también lo serán sus partes reales e imaginarias. De ahí se obtienen las conocidas fórmulas del coseno y del seno del ángulo doble:
\[\text{cos}\,2\alpha=\text{cos}^2\alpha-\text{sen}^2\alpha\]
\[\text{sen}\,2\alpha=2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{cos}\,\alpha\]
También podemos elevar cualquier complejo a cualquier potencia de exponente natural de manera mucho menos laboriosa que usando el binomio de Newton, tal y como se vio en el apartado 3 de este curso de números complejos: otras operaciones con números complejos: diferencia, división, potenciación y radicación de complejos.
- Ejemplo 7
Calcula \((2+2\sqrt{3})^5\)
Pasando el complejo de la base a forma polar, podemos utilizar la cómoda fórmula de Moivre.
\[2+2\sqrt{3}i\Rightarrow\begin{cases}r=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4\\ \text{tg}\,\alpha=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow\alpha=60^{\text{o}}\end{cases}\Rightarrow 2+2\sqrt{3}i=4_{60^{\text{o}}}\]
Entonces:
\[(2+2\sqrt{3}i)^5=(4_{60^{\text{o}}})^5=4^5(\text{cos}\,(5\cdot60^{\text{o}})+i\cdot\text{sen}\,(5\cdot60^{\text{o}}))=\]
\[=1024(\text{cos}\,300^{\text{o}}+i\cdot\text{sen}\,300^{\text{o}})=1024(\text{cos}\,60^{\text{o}}-i\cdot\text{sen}\,60^{\text{o}})=\]
\[=1024\left(\frac{1}{2}-i \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=512-512\sqrt{3}\,i\]
En el siguiente y último apartado dedicado a este curso de números complejos veremos cómo se puede hacer la raíz de índice \(n\) de un número complejo cualquiera.
← 5. Producto y cociente de números complejos en forma polar
