Potencia de un punto respecto de una circunferencia

En la siguiente figura se han trazado, desde un punto \(P\), dos rectas secantes a la circunferencia, que la cortan en los puntos \(A_1\) y \(B_1\), \(A_2\) y \(B_2\), respectivamente.

Los triángulos \(PB_1A_2\) y \(PB_2A_1\) son semejantes porque tienen un ángulo común (el ángulo \(\widehat{P}\)) y dos ángulos iguales (\(\widehat{A_1}\) y \(\widehat{A_2}\) por ser ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo arco \(B_1B_2\)).

Entonces, como triángulos semejantes tienen sus lados homólogos proporcionales, se cumple que \(\dfrac{\overline{PA_1}}{\overline{PA_2}}=\dfrac{\overline{PB_2}}{\overline{PB_1}}\). Por tanto \(\overline{PA_1}\cdot\overline{PB_1}=\overline{PA_2}\cdot\overline{PB_2}\).

Con cualquier otra secante sucedería lo mismo. Por eso, si \(A\) y \(B\) son los puntos de corte de cualquier secante, que pase por \(P\), con la circunferencia, el producto \(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\) es constante y se llama potencia del punto \(P\) respecto de la circunferencia \(c\). Lo escribiremos así:

\[\text{Pot}_c(P)=\overline{PA}\cdot\overline{PB}\]

Si ahora tomamos para calcular la potencia, de entre todas las secantes, aquella que pasa por el centro de la circunferencia, como en la figura siguiente, tendremos:

\[\text{Pot}_c(P)=\overline{PA}\cdot\overline{PB}=(d+r)\cdot(d-r)=d^2-r^2\]

donde \(d\) es la distancia entre \(P(x_0\,,\,y_0)\) y \(C(a\,,\,b)\), o sea:

\[d=\sqrt{\left(x_0-a\right)^2+\left(y_0-b\right)^2}\]

Por tanto:

\[\text{Pot}_c(P)=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2\]

O también:

\[\text{Pot}_c(P)=x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F\]

donde \(D\), \(E\) y \(F\) son los mismos valores que se tomaron al desarrollar la ecuación general de la circunferencia. Por tanto podemos hacer la siguiente afirmación.

La potencia de un punto respecto de una circunferencia nos indica la posición relativa del punto y la circunferencia, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.

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