Polinomios (1)

a)  Para no liarnos iremos por partes.

Primero realizaremos la operación \(p(x)-3q(x)\):

\[p(x)-3q(x)=(1-x-x^2)-3(1+x+x^2)=\]

\[=1-x-x^2-(3+3x+3x^2)=\]

\[=1-x-x^2-3-3x-3x^2=-4x^2-4x-2\]

Obsérvese que el signo «menos» delante de una operación que involucra a un polinomio (o cualquier otra expresión algebraica), cambia de signo a cada uno de sus sumandos. Además, cuando se realizan operaciones con polinomios, una vez que se reducen los monomios semejantes, se suele expresar ordenado el polinomio resultante (de mayor a menor grado).

Ahora realizaremos la operación \(1-q(x)\):

\[1-q(x)=1-(1+x+x^2)=1-1-x-x^2=-x^2-x\]

Ahora ya podemos realizar la operación inicial más cómodamente:

\[\left(p(x)-3q(x)\right)\cdot\left(1-q(x)\right)=(-4x^2-4x-2)\cdot(-x^2-x)=\]

\[=(-4x^2)(-x^2)+(-4x^2)(-x)+(-4x)(-x^2)+\]

\[+(-4x)(-x)+(-2)(-x^2)+(-2)(-x)=\]

\[=4x^4+4x^3+4x^3+4x^2+2x^2+2x=4x^4+8x^3+6x^2+2x\]

En el primer paso se utiliza la propiedad distributiva. Cada monomio del primer polinomio se multiplica ordenadamente por todos y cada uno de los del segundo y luego se suman los resultados. ¡Hay que tener cuidado con los signos! Finalmente se reducen monomios semejantes y se obtiene el polinomio resultante tal y como se ha comentado anteriormente.

b)  Procederemos de manera similar a como se ha hecho en el apartado a).

Primero haremos \(p(x)+q(x)-r(x)\):

\[(1-x-x^2)+(1+x+x^2)-(2x-x^3)=\]

\[=1-x-x^2+1+x+x^2-2x+x^3=x^3-2x+2\]

Ahora calculamos \(2q(x)-r(x)\):

\[2(1+x+x^2)-(2x-x^3)=(2+2x+2x^2)-(2x-x^3)=\]

\[=2+2x+2x^2-2x+x^3=x^3+2x^2+2\]

Finalmente hacemos la operación que se nos pide al principio:

\[\left(p(x)+q(x)-r(x)\right)\cdot\left(2q(x)-r(x)\right)=(x^3-2x+2)\cdot(x^3+2x^2+2)=\]

\[=x^3\cdot x^3+x^3\cdot2x^2+x^3\cdot2+(-2x)\cdot x^3+(-2x)\cdot2x^2+\]

\[+(-2x)\cdot2+2\cdot x^3+2\cdot2x^2+2\cdot2=\]

\[=x^6+2x^5+2x^3-2x^4-4x^3-4x+2x^3+4x^2+4=\]

\[=x^6+2x^5-2x^4+4x^2-4x+4\]

Por tanto el cociente de la división es \(6x^2-2x+10\) y el resto es \(-11x+8\)

Observaciones:

La división entera de polinomios (también llamada algoritmo de Euclides) no es difícil, pero hay que tener algunos detalles muy presentes para que todo vaya bien.

No debes olvidar que el dividendo, en este caso el polinomio \(6x^4+4x^3+2x^2+x-2\), y el divisor, el polinomio \(x^2+x-1\), deben ser polinomios completos y ordenados (de mayor a menor grado). Por tanto si falta algún monomio debes dejar un hueco o sustituirlo por un monomio de coeficiente cero. Por ejemplo, si el dividendo fuera \(2x^3-6x^5-2x^2+1\), para proceder a efectuar la división entera deberíamos colocarlo así: \(-6x^5+0x^4+2x^3-2x^2+0x+1\)

Por otro lado, una vez colocados adecuadamente el dividendo y el divisor, se procede de la siguiente manera.

Para conseguir el primer término del cociente, se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor:

\[\frac{6x^4}{x^2}=6x^2\]

Ahora se multiplica este primer término del cociente por todos y cada uno de los términos del divisor. Cada resultado se coloca bajo el término del mismo grado del dividendo, pero ¡cambiándole el signo! En nuestro caso:

\[6x^2\cdot x^2=6x^4\quad;\quad6x^2\cdot x=6x^3\quad;\quad6x^2\cdot(-1)=-6x^2\]

Colocaremos pues bajo el dividendo el polinomio \(-6x^4-6x^3+6x^2\) (observa cómo se ha cambiado el signo de cada uno de los términos).

A continuación se suma el dividendo y el resultado obtenido, que hemos puesto debajo, para obtener un nuevo dividiendo. Observa que siempre han de eliminarse los monomios de mayor grado. En nuestro caso:

\[(6x^4+4x^3+2x^2+x-2)+(-6x^4-6x^3+6x^2)=-2x^3+8x^2+x-2\]

A partir de aquí obtenemos un nuevo dividiendo y se vuelve a repetir el proceso mencionado hasta que se obtiene un dividendo de menor grado que el cociente. En ese momento finaliza el proceso. Este «último dividendo de menor grado que el cociente» es el resto de la división.

Por último recordar que este algoritmo se puede comprobar, es decir, podemos saber si lo hemos hecho bien. Sabemos que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. Por tanto, una vez realizada la división, multiplicamos el divisor por el cociente y le sumamos el resto:

\[(x^2+x-1)(6x^2-2x+10)+(-11x+8)\]

Si se obtiene como resultado el dividendo

\[6x^4+4x^3+2x^2+x-2\]

la división será correcta. ¡Compruébalo!

Por tanto el cociente de la división es \(3x^3-6x^2+8x-16\) y el resto es \(40\).

Observaciones:

La regla de Ruffini sólo sirve para dividir polinomios entre un binomio del tipo \(x-a\) o \(x+a\). Los coeficientes del dividiendo (en este caso \(3x^4-4x^2+8\)) se colocan ordenadamente (de mayor a menor grado) en la fila superior. Si algún coeficiente no está se coloca el número cero en su lugar (esto es tanto como decir que el polinomio \(3x^4-4x^2+8\) es exactamente el polinomio \(3x^4+0x^3-4x^2+0x+8\)). Por eso hemos colocado en la fila superior los números

\[3\qquad0\qquad-4\qquad0\qquad8\]

En la segunda fila, a la izquierda y separado del resto por una línea vertical se coloca el coeficiente del divisor cambiado de signo. Si el divisor es \(x-a\) se coloca \(a\), y si el diviso es \(x+a\) se coloca \(-a\). Como nuestro divisor es \(x+2\), hemos colocado el número \(-2\).

Ahora se traza una linea horizontal debajo del coeficiente del divisor cambiado de signo (en este caso \(-2\)) y se procede de la siguiente manera:

Se escribe bajo la línea horizontal el primer coeficiente del dividendo (en este caso \(3\)) y se multiplica por el coeficiente del divisor cambiado de signo (en este caso \(-2\)). El resultado es el primer número que se escribe sobre la linea horizontal y debajo de los coeficientes del dividendo (en este caso \(-6\)). Ahora se suma este valor con el segundo coeficiente del dividendo (\(0+(-6)=-6\)) y el resultado se coloca bajo la línea horizontal a continuación del valor anterior.

Este proceso se repite hasta obtener el último número que se recuadra, para señalar que se trata del resto de la división (en este caso \(40\)).

El cociente de la división siempre es de un grado menor que el dividiendo y sus coeficientes, ordenados de mayor a menor grado, son todos los que aparecen bajo la línea horizontal, salvo el resto. Así, en este caso el cociente es de grado \(3\) y tiene coeficientes \(3,\ -6,\ 8,\ -16\), con lo que el cociente es el polinomio \(3x^3-6x^2+8x-16\).

De nuevo el proceso es más fácil verlo y entenderlo que explicarlo. En cualquier texto puedes encontrar una explicación gráfica mucho mejor que la que se ha dado aquí. Pero bueno, espero que sirva. Lo conveniente es hacer muchas veces la regla de Ruffini para coger práctica. Por cierto, ¡mucho cuidado con los signos!

El dividendo es el polinomio \(2(k+1)x^2+3x+(k-2)\). Observa que sus coeficientes son \(2(k+1)=2k+2\), \(3\) y \(k-2\). Apliquemos con cuidado la regla de Ruffini, porque ahora hay de por medio una letra o parámetro: \(k\).

Repasa atentamente cómo se ha ido multiplicando y sumando hasta llegar al final al resto, que es \(9k+12\). Como el enunciado dice que el resto de la división ha de ser igual a \(5\), tenemos finalmente que:

\[9k+12=5\Rightarrow9k=-7\Rightarrow k=-\frac{7}{9}\]

El teorema del resto dice que el resto \(R\) de la división de un polinomio \(P(x)\) entre un binomio del tipo \(x-a\) es igual al valor numérico del polinomio para \(x=a\). Es decir:

\[R=P(a)\]

Si el binomio entre el que se divide el polinomio \(P(x)\) es del tipo \(x+a\), entonces:

\[R=P(-a)\]

a)  En este caso \(R=P(-1)\). Hallemos \(P(-1)\):

\[P(-1)=(-1)^3+(m-4)(-1)^2-2(-1)-(2m+1)=\]

\[=-1+m-4+2-2m-2=-m-5\]

Entonces, si el polinomio ha de ser divisible por \(x+1\), el resto ha de ser cero, con lo que:

\[-m-5=0\Rightarrow m=-5\]

b)  Si \(-1\) fuera una raíz, el resto de dividir el polinomio \(x^3-4x^2+x+6\) entre \(x+1\) sería cero. Veámoslo.

\[P(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0\]

Por el teorema del resto, efectivamente el resto de la división es cero y por tanto \(-1\) sí que es una raíz del polinomio \(x^3-4x^2+x+6\).

Hay un resultado conocido según el cual, si \(a\) es un divisor del término independiente de un polinomio \(P(x)\), entonces \(x-a\) es un divisor de \(P(x)\)

a)  Según el resultado anterior, los valores de \(a\) para que \(x-a\) sea un divisor del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\) deben encontrarse entre los divisores de \(-2\), que son:

\[\text{Div}(-2)=\{\pm1,\,\pm2\}\]

Por eso iremos probando la regla de Ruffini sucesivamente con los valores \(1\), \(-1\), \(2\) y \(-2\). Es conveniente recordar que si con alguno de ellos se obtiene resto cero, hay que volver a probar con el mismo valor, pues es probable que la raíz \(a\) (o lo que es lo mismo, el factor \(x-a\)) pueda ser múltiple. Veamos pues:

Por tanto \(1\) no es raíz, o lo que es lo mismo, \(x-1\) no es factor de \(x^3-2x^2+x-2\).

También se podría haber hecho utilizando el teorema del resto:

\[P(1)=1^3-2\cdot1^2+1-2=1-2+1-2=-2\]

Como el resto no es cero (obsérvese que es el mismo que aplicando la regla de Ruffini), \(x-1\) no es un factor, o divisor, de \(x^3-2x^2+x-2\).

Continuemos con la regla de Ruffini:

Por tanto \(-1\) no es raíz, o lo que es lo mismo, \(x+1\) no es factor de \(x^3-2x^2+x-2\).

De lo anterior se deduce que \(2\) es una raíz, o lo que es lo mismo, \(x-2\) es un factor de \(x^3-2x^2+x-2\). Sin embargo este factor no se vuelve a repetir (no es un factor doble), ya que al volver a aplicar la regla de Ruffini el resto no es cero.

Por tanto una primera factorización del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\) es \((x-2)(x^2+1)\) (el cociente es de grado \(2\) y sus coeficientes, observando la aplicación de la regla de Ruffini, son ordenadamente \(1\), \(0\) y \(1\).

Veamos por último si \(-2\) es raíz:

Como el resto no es cero \(-2\) no es raíz. Obsérvese que se ha aplicado la regla de Ruffini no con el polinomio original, sino con el último cociente \(x^2+1\), pues al tener éste menos coeficientes la aplicación de la regla de Ruffini será más fácil y rápida. Esto se puede hacer porque si \(-2\) fuera raíz de \(x^3-2x^2+x-2\) también habría de serlo de \(x^2+1\) pues hemos visto que \(x^3-2x^2+x-2\) factoriza de la forma \((x-2)(x^2+1)\) y como \(-2\) no es raíz de \(x-2\), de serlo lo sería de \(x^2+1\).

Por tanto, llegamos a que la factorización del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\) es:

\[x^3-2x^2+x-2=(x-2)(x^2+1)\]

b)  Procederemos como en el apartado anterior pero de manera algo más resumida.

Los divisores de \(-3\) son:

\[\text{Div}(-3)=\{\pm1,\,\pm3\}\]

Entonces \(1\) es raíz, pero no es raíz doble. Es decir, \(x-1\) es factor, pero no es un factor doble.

Por tanto \(-1\) es raíz, pero no es raíz doble. Es decir, \(x+1\) es factor, pero no es un factor doble.

Aquí podríamos parar el proceso pues el último cociente es de grado uno: \(x+3\) y precisamente este es el último factor, que se corresponde con la raíz \(-3\).

En todo caso lo podríamos ratificar si siguiéramos:

Cuando al aplicar sucesivamente la regla de Ruffini en el cociente sólo queda un número, ya no podemos seguir aplicándola más. Este número (polinomio de grado cero) también es un factor del polinomio original.

Así pues la factorización de \(x^3+3x^2-x-3\) es:

\[x^3+3x^2-x-3=(x-1)(x+1)(x+3)\]

Cuando se tiene cierta experiencia en la aplicación de la regla de Ruffini, se puede ir aplicando de manera encadenada, sin pararse a mirar las posibles raíces dobles. A veces resulta, como en este caso:

De donde se desprende claramente la factorización del polinomio.

Como

tenemos que \(x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)\).

Por otro lado el polinomio del denominador es una diferencia de cuadrados: \(x^2-1=(x+1)(x-1)\).

Por tanto:

\[\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)}=x+2\]

\[\frac{x-2}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{x-2}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{(x+1)(x-1)}\]

El mínimo común múltiplo de los denominadores es \((x+1)(x-1)^2\). Por tanto:

\[\frac{x-2}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-2)(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}+\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)^2}=\]

\[=\frac{x^2-x-2}{(x+1)(x-1)^2}+\frac{x^2+x-2}{(x+1)(x-1)^2}=\]

\[=\frac{2x^2-4}{(x+1)(x-1)^2}=\frac{2(x^2-2)}{(x+1)(x-1)^2}\]

Observación:

Una utilidad de saber sumar fracciones algebraicas es poder resolver ciertas ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación

\[\frac{x-2}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{x^2-1}=0\]

es equivalente a esta otra:

\[\frac{2(x^2-2)}{(x+1)(x-1)^2}=0\]

Y si una fracción es igual a cero es porque el numerador ha de ser cero:

\[2(x^2-2)=0\Leftrightarrow x^2-2=0\Leftrightarrow x^2=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\]