Operaciones con raíces. Radicales (1)

a)  \(\left(\sqrt{x}\sqrt{2}\right)^2=(\sqrt{2x})^2=2x\)

Observaciones:

Para multiplicar los dos radicales que hay dentro del paréntesis, se ha utilizado la propiedad según la cual «producto de raíces del mismo índice, es igual a la raíz del producto»:

\[\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]

Luego hemos utilizado otra conocida propiedad (bueno, más que propiedad, la definición de raíz de índice cualquiera):

\[(\sqrt[n]{a})^n=a\]

También se podría haber hecho aplicando en primer lugar la propiedad de las potencias según la cual «potencia de un producto es igual a producto de las potencias»:

\(\left(\sqrt{x}\sqrt{2}\right)^2=(\sqrt{x})^2(\sqrt{2})^2=x\cdot2=2x\)

b)  \(\displaystyle\left(2\sqrt{2x}\right)^3=2^3\left(\sqrt{2x^3}\right)^3=8\sqrt{(2x)^3}=8\sqrt{8x^3}\)

Observaciones:

Hemos utilizado una propiedad según la cual «potencia de un radical es igual al radical de la potencia»:

\[\left(\sqrt[n]{a}\right)^p=\sqrt[n]{a^p}\]

Como el enunciado dice «calcula», hemos dejado así el resultado, pero se suelen extraer factores fuera del radical:

\(8\sqrt{8x^3}=8\sqrt{2^3x^3}=8\sqrt{(2x)^2}\sqrt{2x}=8\cdot2x\sqrt{2x}=16x\sqrt{2x}\)

c)  \(\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2=\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}\sqrt{5}+\sqrt{5}^2=3-2\sqrt{15}+5=8-2\sqrt{15}\)

Observaciones:

En este caso hemos utilizado la conocidad igualdad notable «cuadrado de una diferencia»:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

Además se han utilizado la propiedades comentadas en el apartado a).

d)  \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{x}\right)^2=\sqrt{3}^2+2\sqrt{3}\sqrt{x}+\sqrt{x}^2=3+x+2\sqrt{3x}\)

e)  \(\left(2\sqrt{x}-5\right)\left(2\sqrt{x}+5\right)=(2\sqrt{x})^2-5^2=2^2\sqrt{x}^2-25=4x-25\)

f)  \(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right)=\sqrt{x-1}^2-\sqrt{x+1}^2=\)

\(=(x-1)-(x+1)=x-1-x-1=-2\)

Observaciones:

En los apartdos e) y f) hemos utilizado la conocida identidad «suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados»:

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

También se ha hecho uso de las propiedades ya mencionadas de los radicales.

En el apartado f) hay que tener un poco de cuidado, pues al eliminar el segundo radical y llevar éste un «menos» delante, este menos afecta a todos los sumandos incluidos dentro del radical. Por eso, cuando un radical tiene en su interior varios sumandos, y éste se elimina, los colocamos entre paréntesis para que en los cálculo posteriores no haya lugar a error.

a)  \(\sqrt{64a^4b^6}=\sqrt{2^6a^4b^6}=\sqrt{(2^2a^2b^2)(2^2a^2b^2)(2^2b^2)}=\)

\(=\sqrt{2^2a^2b^2}\sqrt{2^2a^2b^2}\sqrt{2^2b^2}=\sqrt{(2ab)^2}\sqrt{(2ab)^2}\sqrt{(2b)^2}=\)

\(=(2ab)(2ab)(2b)=8a^2b^3\)

Observaciones:

En realidad, si nos fijamos bien, sale un factor por cada número de veces que se repite según el índice del radical. Así por ejemplo, si el índice es \(5\) y el factor se repite \(32\) veces (o lo que es lo mismo, está elevado a una potencia de exponente \(32\)), este factor sale \(6\) veces (elevado a \(6\)) y quedan dentro los dos que sobran Esto es porque el índice \(5\) se repite, en el número \(32\), \(6\) veces y sobran \(2\).

\[\sqrt[5]{x^{32}}=\sqrt[5]{x^{6\cdot5+2}}=\sqrt[5]{x^{6\cdot5}\cdot x^2}=\sqrt[5]{(x^6)^5}\cdot\sqrt[5]{x^2}=x^6\sqrt[5]{x^2}\]

Lo que se suele hacer es la división del exponente entre el índice, el cociente corresponde con el número de factores que salen fuera del radical y el resto son el número de factores que se quedan dentro. Esto presupone que el exponente del factor que hay dentro del radical ha de ser mayor o igual que el índice pues, en caso contrario, no sale ningún factor del radical.

\[\sqrt[n]{x^p}=x^q\sqrt[n]{x^r}\]

donde \(q\) es el cociente y \(r\) el resto de la división entera \(p : n\).

Así actuaremos en los siguientes apartados.

b)  \(\sqrt[3]{27a^4b^5}=\sqrt[3]{3^3a^4b^5}=\sqrt[3]{3^3}\sqrt[3]{a^4}\sqrt[3]{b^5}=3ab\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^2}=3ab\sqrt[3]{ab^2}\)

c)  \(\sqrt[4]{32a^9b^5}=\sqrt[4]{2^5a^9b^5}\)=\(2a^2b\sqrt[4]{2ab}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt{\frac{28x^3y^4}{63a^5b^6}}=\sqrt{\frac{2^2\cdot7x^3y^4}{3^2\cdot7a^5b^6}}=\frac{2xy^2}{3a^2b^3}\sqrt{\frac{7x}{7a}}=\frac{2xy^2}{3a^2b^3}\sqrt{\frac{x}{a}}\)

a)  \(\displaystyle2x\sqrt{\frac{3x^3y}{2x}}=\sqrt{\frac{3x^3y}{2x}\cdot(2x)^2}=\sqrt{\frac{3x^3y2^2x^2}{2x}}=\sqrt{3\cdot2x^4y}=\sqrt{6x^4y}\)

Observación:

Los factores se introducen dentro del radical elevándolos al índice correspondiente. Luego basta hacer cálculos y simplificar el radicando utilizando las propiedades de las potencias.

b)  \(\displaystyle8\sqrt{\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{3}{16}\cdot8^2}=\sqrt{\frac{3\cdot(2^3)^2}{2^4}}=\sqrt{\frac{3\cdot2^6}{2^4}}=\sqrt{3\cdot2^2}=\sqrt{12}\)

c)  \(2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3\cdot2^3}=\sqrt[3]{3\cdot8}=\sqrt[3]{24}\)

d)  \(\displaystyle2ab\sqrt[3]{\frac{3ac}{4b^2}}=\sqrt[3]{\frac{3ac}{4b^2}\cdot(2ab)^3}=\sqrt[3]{\frac{3ac2^3a^3b^3}{2^2b^2}}=\sqrt[3]{3\cdot2a^4bc}=\sqrt[3]{6a^4bc}\)

a)  \(\sqrt{5a}\cdot\sqrt{10ab}\cdot\sqrt{8a^3b}\cdot\sqrt{a}=\sqrt{5a\cdot10ab\cdot8a^3b\cdot a}=\)

\(=\sqrt{2^4\cdot5^2a^6b^2}=2^2\cdot5a^3b=20a^3b\)

Observación:

En vez de hacer el producto \(5\cdot10\cdot8=450\) y luego factorizar \(450\), hemos factorizado \(10=2\cdot5\) y \(8=2^3\), que es menos complicado. Luego \(5\cdot10\cdot8=5\cdot2\cdot5\cdot2^3=2^4\cdot5^2\). Observa también que al extraer factores no queda ninguno dentro del radical, con lo que éste desaparece. Bueno, en realidad queda \(\sqrt{1}=1\). Pero ya sabemos que el factor \(1\) no suele escribirse (¡aunque siempre está!).

b)  \(\sqrt{6}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[4]{8}=\sqrt[12]{6^6}\cdot\sqrt[12]{4^4}\cdot\sqrt[12]{8^3}=\sqrt[12]{(2\cdot3)^6}\cdot\sqrt[12]{(2^2)^4}\cdot\sqrt[12]{(2^3)^3}=\)

\(=\sqrt[12]{2^6\cdot3^6}\cdot\sqrt[12]{2^8}\cdot\sqrt[12]{2^9}=\sqrt[12]{2^6\cdot3^6\cdot2^8\cdot2^9}=\sqrt[12]{2^{23}\cdot3^6}=2\sqrt[12]{2^{11}3^6}\)

Observación:

Ahora no se puede multiplicar directamente pues los radicales no tienen índice común. Hay que reducir todos a índice común (el mínimo común múltiplo de los índices) y aplicar la siguiente propiedad:

\[\sqrt[n]{x^p}=\sqrt[n\cdot k]{x^{p\cdot k}}\]

c)  \(\displaystyle\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\cdot\sqrt[4]{\frac{a^3}{b^2}}\cdot\sqrt[6]{\frac{b^5}{a^7}}=\sqrt[12]{\frac{a^4}{b^4}}\cdot\sqrt[12]{\frac{a^9}{b^6}}\cdot\sqrt[12]{\frac{b^{10}}{a^{14}}}=\sqrt[12]{\frac{a^4\cdot a^9\cdot b^{10}}{b^4\cdot b^6\cdot a^{14}}}=\)

\(\displaystyle=\sqrt[12]{\frac{a^{13}\cdot b^{10}}{a^{14}\cdot b^{10}}}=\sqrt[12]{\frac{1}{a}}=\frac{1}{\sqrt[12]{a}}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt[3]{x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=\frac{\sqrt[12]{x^8}}{\sqrt[12]{x^9}}=\sqrt[12]{\frac{x^8}{x^9}}=\sqrt[12]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{\sqrt[12]{x}}\)

a)  \(2\sqrt{2}+6\sqrt{8}-\sqrt{18}-\sqrt{50}=2\sqrt{2}+6\sqrt{2^3}-\sqrt{2\cdot3^2}-\sqrt{2\cdot5^2}=\)

\(=2\sqrt{2}+6\cdot2\sqrt{2}-3\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}+12\sqrt{2}-3\sqrt{2}-5\sqrt{2}=\)

\(=(2+12-3-5)\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)

Observación:

Se trata de extraer factores de cada uno de los radicales (descomponiendo previamente cada factor numérico en producto de primos), y luego de sacar factor común el radical común que aparezca en cada uno de los sumandos.

b)  \(5\sqrt{12}+\sqrt{27}-8\sqrt{75}+\sqrt{48}=5\sqrt{2^2\cdot3}+\sqrt{3^3}-8\sqrt{3^\cdot5^2}+\sqrt{2^4\cdot3}=\)

\(=5\cdot2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-8\cdot5\sqrt{3}+2^2\sqrt{3}=10\sqrt{3}+3\sqrt{3}-40\sqrt{3}+4\sqrt{3}=\)

\(=(10+3-40+4)\sqrt{3}=-23\sqrt{3}\)

a)  \(\displaystyle\frac{6}{\sqrt{12}}=\frac{6\sqrt{12}}{\sqrt{12}\sqrt{12}}=\frac{6\sqrt{2^2\cdot3}}{\sqrt{12}^2}=\frac{6\cdot2\sqrt{3}}{12}=\frac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}\)

Observación:

Racionalizar consiste en eliminar raíces del denominador. Si en el denominador solamente hay un sumando en el que aparece como factor una raíz cuadrada, basta multiplicar numerador y denominador por esta raíz cuadrada y operar. La raíz desaparecerá del denominador. En general:

\[\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}^2}=\frac{a\sqrt{c}}{bc}\]

Para simplificar hay que proceder como antes: descomponer en producto de primos, extraer factores del radical, usar las propiedades de las potencias, etcétera.

b)  \(\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{3^2}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3\cdot3^2}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{3}=\sqrt[3]{3}\)

Observación:

Si en el denominador aparece sólo un sumando con una raíz de índice mayor que dos, se multiplica el numerador y el denominador por la misma raíz pero con el radicando elevado a la cantidad adecuada para que al sumar exponentes el resultado sea igual al índice, con lo que desaparecerá la raíz:

\[\frac{a}{b\sqrt[k]{c^p}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{b\sqrt[k]{c^p}\sqrt[k]{c^{k-p}}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{b\sqrt[k]{c^p\cdot c^{k-p}}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{b\sqrt[k]{c^k}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{bc}\]

c)  \(\displaystyle\frac{23}{5-\sqrt{2}}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{(5-\sqrt{2})(5+\sqrt{2})}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{5^2-\sqrt{2}^2}=\)

\(\displaystyle=\frac{23(5+\sqrt{2})}{25-2}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{23}=5+\sqrt{2}\)

Observaciones:

Cuando en el denominador aparece una suma (o una resta) y uno o los dos sumandos tiene como factor raíces cuadradas, para racionalizar se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de \(a-b\) es \(a+b\), y viceversa, el conjugado de \(a+b\) es \(a-b\). De este modo, en general:

\[\frac{a}{b\sqrt{x}+c\sqrt{y}}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x}+c\sqrt{y})(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x})^2-(c\sqrt{y})^2}=\]

\[=\frac{ab\sqrt{x}-ac\sqrt{y}}{b^2\sqrt{x}^2-c^2\sqrt{y}^2}=\frac{ab\sqrt{x}-ac\sqrt{y}}{b^2x-c^2y}\]

Observa también que, en el ejercicio, antes de aplicar la propiedad distributiva en el numerador, hemos simplificado el denominador. Así hemos tenido la posibilidad de cancelar el número \(23\) que aparece como factor en el numerador y en el denominador.

d)  \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{(\sqrt{13}-\sqrt{3})(\sqrt{13}+\sqrt{3})}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{\sqrt{13}^2-\sqrt{3}^2}=\)

\(\displaystyle=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{13-3}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{10}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{2\cdot5}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{2}\)