Operaciones con fracciones (1)

\(\displaystyle\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}-\frac{5}{3}\right)+\frac{2}{9}=\left(\frac{9}{6}-\frac{4}{6}\right)\cdot\left(\frac{9}{15}-\frac{25}{15}\right)+\frac{2}{9}=\)

\(=\displaystyle\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{16}{15}\right)+\frac{2}{9}=-\frac{80}{90}+\frac{2}{9}=-\frac{8}{9}+\frac{2}{9}=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}\)

Acostúmbrate siempre a simplificar cualquier fracción que aparezca en los pasos intermedios. En este caso, observa que se ha simplificado la fracción \(\displaystyle-\frac{80}{90}\), sustituyéndola por su fracción simplificada e irreducible \(\displaystyle-\frac{8}{9}\). Este tipo de acción facilitará muchísimo los cálculos.

\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(2-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{3}\right)}{\displaystyle\left(2+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(3-\frac{1}{2}\right)}+1=\displaystyle \frac{\displaystyle\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{9}{3}-\frac{1}{3}\right)}{\displaystyle\left(\frac{6}{3}+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{6}{2}-\frac{1}{2}\right)}+1=\)

\(=\frac{\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{3}}{\displaystyle\frac{7}{3}\cdot\frac{5}{2}}+1=\frac{\displaystyle\frac{24}{6}}{\displaystyle\frac{35}{6}}+1=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle\frac{35}{6}}+1=\)

\(\displaystyle =4:\frac{35}{6}+1=\frac{24}{35}+1=\frac{24}{35}+\frac{35}{35}=\frac{59}{35}\)

En esta operación también se ha simplificado algún paso intermedio: cuando nos ha salido la fracción \(\displaystyle\frac{24}{6}\), la hemos sustituido por \(4\).

Además hemos tenido mucho cuidado con la división \(\displaystyle\frac{4}{\displaystyle\frac{35}{6}}\). Para no equivocarnos la hemos escrito del siguiente modo \(\displaystyle 4:\frac{35}{6}\). Recuerda también que un número entero es una fracción con denominador uno. Por tanto: \(\displaystyle 4:\frac{35}{6}=\frac{4}{1}:\frac{35}{6}=\frac{24}{35}\).

\(\displaystyle\left(\frac{5}{8}-\frac{7}{4}\right)\cdot\left(\frac{6}{5}-\frac{4}{3}\right)+\frac{1}{2}=\displaystyle\left(\frac{5}{8}-\frac{14}{8}\right)\cdot\left(\frac{18}{15}-\frac{20}{15}\right)+\frac{1}{2}=\)

\(\displaystyle=\left(-\frac{9}{8}\right)\cdot\left(-\frac{2}{15}\right)+\frac{1}{2}=\frac{18}{120}+\frac{1}{2}=\)

\(\displaystyle=\frac{3}{20}+\frac{1}{2}=\frac{3}{20}+\frac{10}{20}=\frac{13}{20}\)

Para simplificar la fracción \(\displaystyle\frac{18}{120}\) se puede ir dividiendo sucesivamente entre divisores comunes del numerador y del denominador.

\(\displaystyle\frac{18}{120}=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}\)

Como ves, se ha dividido primero el numerador y el denonominador entre \(3\), y luego entre \(2\).

O bien se puede dividir numerador y denominador entre el máximo común divisor de ambos, con lo que directamente obtendremos la fracción simplificada irreducible.

Como el máximo común divisor de \(18=2\cdot3^2\) y \(120=2^3\cdot3\cdot5\) es \(\text{mcd}(18,120)=2\cdot3=6\) (recuerda, para el máximo común divisor se escogen los factores comunes elevados al menor de los exponentes) tenemos, dividiendo numerador y denominador entre \(6\):

\(\displaystyle\frac{18}{120}=\frac{3}{20}\)

\(\displaystyle \frac{\displaystyle\left(5-\frac{1}{5}\right)\cdot\left(6+\frac{1}{6}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{5}+5\right)\cdot\left(\frac{1}{6}-6\right)}-2=\displaystyle \frac{\displaystyle\left(\frac{25}{5}-\frac{1}{5}\right)\cdot\left(\frac{36}{6}+\frac{1}{6}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{5}+\frac{25}{5}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}-\frac{36}{6}\right)}-2=\)

\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{24}{5}\cdot\frac{37}{6}}{\displaystyle\frac{26}{5}\cdot\left(-\frac{35}{6}\right)}-2=\frac{\displaystyle\frac{24\cdot37}{5\cdot6}}{\displaystyle-\frac{26\cdot35}{5\cdot6}}-2=-\frac{24\cdot37\cdot5\cdot6}{26\cdot35\cdot5\cdot6}-2=\)

\(=\displaystyle-\frac{24\cdot37}{26\cdot35}-2=-\frac{2^3\cdot3\cdot37}{2\cdot13\cdot5\cdot7}-2=-\frac{2^2\cdot3\cdot37}{13\cdot5\cdot7}-2=\)

\(=\displaystyle-\frac{444}{455}-2=-\frac{444}{455}-\frac{910}{455}=-\frac{1354}{455}\)

Fíjate cómo, a veces, no conviene hacer multiplicaciones de primeras. Se pueden dejar las multiplicaciones indicadas, luego descomponer en factores primos y hacer las operaciones, eliminando los factores comunes del numerador y del denominador. De este modo sólo tendremos que hacer una multiplicación más o menos larga, pero no tanto como las del principio, prácticamente al final de la operación combinada.

No debe impresionarte el hecho de que, alguna vez que otra, aparezcan operaciones combinadas donde se dan resultados con más cifras de las que estamos habituados. No importa, no hay que asustarse. Insisto en que una estrategia muy buena es descomponer los factores que nos salgan en producto de primos, hacer operaciones y eliminar factores comunes en el numerador y en el denominador. Eso sí, tenemos que conocer como mínimo todos los números primos menores que, digamos, \(50\). En secundaria no se suelen poner operaciones donde aparezcan factores primos mayores que \(50\).

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{5}{12}-\frac{1}{36}\right)\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\left(1+\frac{2}{3}\right):\frac{5}{6}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{27}{36}+\frac{24}{36}-\frac{15}{36}-\frac{1}{36}\right)\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\left(\frac{3}{3}+\frac{2}{3}\right):\frac{5}{6}}=\)

\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{35}{36}\cdot\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}}=\frac{35\cdot3\cdot3\cdot6}{36\cdot5\cdot5\cdot5}=\frac{5\cdot7\cdot3\cdot3\cdot2\cdot3}{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5}=\frac{7\cdot3}{2\cdot5\cdot5}=\frac{21}{50}\)

Cómo véis, se ha utilizado la misma estrategia que en el ejercicio anterior: descomponer en producto de primos todos los factores que nos encontremos. Luego eliminamos factores comunes del numerador y del denominador. Así quizás sea más sencillo que efectuar multiplicaciones donde los resultados serán números con muchas cifras. Téngase en cuenta que muchas veces no disponemos de calculadora en clase o en un examen. Tampoco hace demasiada falta.