Más sobre ecuaciones exponenciales

En una entrada anterior sobre ecuaciones exponenciales, se recordaba que, a un nivel de matemáticas de secundaria o de bachillerato, no hay un procedimiento general para resolver ecuaciones exponenciales y que, para resolver ecuaciones exponenciales propuestas a estos niveles (además de estar habituado a trabajar con potencias, radicales y logaritmos), uno de los requisitos que debería de tener una ecuación exponencial es que todos los términos que contengan la incógnita, pudiesen reducirse a una base común.

Así, por ejemplo, la ecuación exponencial \(10^x+10^{x-1}+3\cdot10^{x-2}=11300\) se puede resolver con cierta facilidad porque todos los términos en los que aparece la incógnita se pueden reducir a la potencia \(10^x\):

\[10^x+10^{x-1}+3\cdot10^{x-2}=11300\Rightarrow\]

\[\Rightarrow10^x+10^x\cdot10^{-1}+3\cdot10^x\cdot10^{-2}=11300\Rightarrow\]

\[\Rightarrow{10^x} + \frac{{{{10}^x}}}{{10}} + \frac{{3 \cdot {{10}^x}}}{{100}} = 11300\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 100 \cdot {10^x} + 10 \cdot {10^x} + 3 \cdot {10^x} = 1130000 \Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left( {100 + 10 + 3} \right) \cdot {10^x} = 1130000 \Rightarrow113 \cdot {10^x} = 1130000 \Rightarrow\]

\[\Rightarrow {10^x} = 10000 \Rightarrow {10^x} = {10^4} \Rightarrow x = 4\]

También se puede hacer, de manera equivalente, e incluso más rápido, usando otras dinámicas:

\[10^x+10^{x-1}+3\cdot10^{x-2}=11300\Rightarrow10^{x-2}\left(10^2+10+3\right)=11300\Rightarrow\]

\[\Rightarrow10^{x-2}=100\Rightarrow x-2=2\Rightarrow x=4\]

Sin embargo, hay ecuaciones exponenciales cuya resolución a un nivel de matemáticas de secundaria o bachillerato, sería complicada. Por ejemplo la siguiente:

\[5^x-4^x=9\]

No es difícil darse cuenta de que la solución es \(x=2\), ya que \(5^2-4^2=25-16=9\). Pero seguir un procedimiento para llegar a la solución es otra cosa.

Un compañero jubilado me pedía, a través de un mensaje por correo electrónico, que intentara resolver este tipo de ecuaciones, preguntándose si sería posible por exponenciales o logaritmos. Pues yo creo que no, que no hay un procedimiento usando contenidos propios de las matemáticas que se ven en la secundaria o en el bachillerato. Habría que echar mano de otras técnicas de cálculo numérico de nivel superior vinculándolas, por ejemplo, al desarrollo en serie de las funciones exponenciales, contenidos que ya no se imparten en el bachillerato actual.

Sin embargo, este tipo de ecuaciones sí que se pueden resolver usando las nuevas aplicaciones gráficas, cosa que también es bueno integrar en nuestras clases de matemáticas tanto a nivel de secundaria como de bachillerato.

En el caso de la ecuación \(5^x-4^x=9\), bastaría representar la función \(y=5^x-4^x\) y la función constantemente igual a \(9\), para darnos cuenta de que la solución de la ecuación es \(x=2\):

La representación anterior se ha hecho con la aplicación desmos.

Del mismo modo se podrían obtener las soluciones de otras ecuaciones, como por ejemplo:

\[5^x-4^x=20\quad;\quad 4^x-x^2=55\quad;\quad x^6-6^x=513\]

En la última ecuación, desmos nos proporciona tres soluciones: \(x\cong-2,829\), \(x=3\) y \(x\cong5,986\):

Soluciones que son las mismas que nos proporciona la también conocida aplicación WolframAlpha.

Ahora solamente hay que dejar al lector para que siga usando estas aplicaciones para resolver las ecuaciones que se proponga…

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

Grado en Matemáticas VIU (Universidad Internacional de Valencia)

La Universidad Internacional de Valencia (VIU) nos ofrece la posibilidad de matricularnos en un Grado ...

A %d blogueros les gusta esto: