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Lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada, de un modo integrante y excluyente.
- Integrante significa que todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
- Excluyente, que todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.
Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones. Es lo que se hace en los siguientes ejemplos. En ellos veremos dos lugares geométricos básicos: la mediatriz de un segmento y las bisectrices de los ángulos que forman dos rectas.
Lugares geométricos destacables en el plano son las cónicas:
- Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.
- Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamdos focos es constante.
- Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
- Parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamdo foco.
Puedes ver un estudio de las cónicas en otro curso dedicado exclusivamente a ellas.
- Ejemplo 18
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento \(AB\), tal que \(A(2,2)\) y \(B(8,0)\).
La mediatriz \(m\) es el lugar geométrico de todos los puntos que distan lo mismo de los extremos del segmento.
O sea, con un punto cualquiera \(P(x,y)\) que pertenezca al lugar, se cumple:
\[d(P,A)=d(P,B)\]
Entonces
\[\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-8)^2+(y-0)^2}\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow(x-2)^2+(y-2)^2=(x-8)^2+y^2\Rightarrow m\equiv3x-y-14=0\]
- Ejemplo 19
Calcula la ecuación de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas
\[r\equiv4x-3y=0\quad;\quad s\equiv5x+12y-7=0\]
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que distan lo mismo de cada uno de los lados del ángulo.
O sea, que un punto cualquiera \(P(x,y)\) que pertenezca al lugar, se cumple:
\[d(P,r)=d(P,s)\]
Utilizando la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en la lección 7 dedicada a este curso de geometría plana, la relación anterior la podemos escribir así:
\[\frac{|4x-3y|}{\sqrt{16+9}}=\frac{|5x+12y-7|}{\sqrt{25+144}}\Rightarrow\frac{4x-3y}{5}=\pm\frac{5x+12y-7}{13}\]
Con el signo \(+\):
\[b_1\equiv27x+99y+35=0\]
Con el signo \(−\):
\[b_2\equiv77x+21y-35=0\]
Obsérvese que las bisectrices \(b_1\) y \(b_2\) son perpendiculares pues el producto escalar de dos vectores directores suyos es nulo. En efecto:
\[(99,27)\cdot(-21,77)=99\cdot(-21)+27\cdot77=-2079+2079=0\]
