Lotería, dados, azar, probabilidad: un par de problemas

Problema 1

Es conocido que en los sorteos ordinarios de la lotería hay \(5\) bombos con los números del \(0\) al \(9\). Pues bien: ¿cuál es la probabilidad de que en un sorteo ordinario de lotería toque un número capicúa comprendido entre el \(50\,000\) y el \(70\,000\)?

La solución aquí

La solución aquí

Recordemos que un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Un número capicuá comprendido entre \(50\,000\) y \(70\,000\) es, por ejemplo, el \(62826\). En general, los números capicúas comprendidos entre \(50\,000\) y \(70\,000\) son de la forma \(5aba5\) o de la forma \(6aba6\), donde \(a\) y \(b\) designan cualquier dígito comprendido entre \(0\) y \(9\).

El número de ordenaciones diferentes de la disposición \(aba\) coincide con el número de ordenaciones diferentes de la disposición \(ab\) donde los dígitos \(a\) y \(b\) se pueden repetir. Así, el total de ordenaciones será igual a las variaciones con repetición de \(10\) elementos tomados de \(2\) en \(2\):

\[VR_{10,2}=10^2=100\]

Esto quiere decir que hay \(200\) capicúas comprendidos entre \(50\,000\) y \(70\,000\): \(100\) capicúas de la forma \(5aba5\) y otros \(100\) de la forma \(6aba6\).

Por tanto, si llamamos \(A\) al suceso «salir un capicúa comprendido entre \(50\,000\) y \(70\,000\)», en un sorteo ordinario cualquiera de la lotería, en el que hay \(100\,000\) casos posibles, aplicando la regla de Laplace tendremos:

\[P(A)=\frac{200}{100\,000}=\frac{2}{1\,000}=\frac{1}{500}=0,002\]

Obsérvese que esto es tanto como decir que, aproximadamente, sale un capicúa comprendido entre \(50\,000\) y \(70\,000\), cada \(500\) sorteos ordinarios de la lotería.

Problema 2

Se sabe que la probabilidad de obtener un seis doble en una tirada de dos dados es \(\displaystyle\frac{1}{36}\). Hallar la probabilidad de obtener al menos un seis doble en \(n\) tiradas de dos dados. ¿Cuántas partidas habrá que jugar para que la probabilidad anterior sea de \(\displaystyle\frac{1}{2}\)?

La solución aquí

La solución aquí

Si llamamos \(A_i\) al suceso «sacar seis doble en la tirada i-ésima», tendremos que \(\displaystyle P(A_i)=\frac{1}{36}\). Por tanto, la probabilidad de no sacar seis doble en la tirada i-ésima, será \(\displaystyle P\left(\,\overline{A_i}\,\right)=\frac{35}{36}\).

Llamemos \(A\) al suceso «obtener al menos un seis doble en \(n\) tiradas de dos dados». El suceso contrario, \(\overline{A}\), del suceso anterior es «no obtener ningún seis doble en \(n\) tiradas de dos dados», que es lo mismo que no obtener seis doble en la primer tirada, no obtenerlo en la segunda tirada, y así sucesivamente hasta no obtenerlo en la n-ésima tirada. Y estos \(n\) sucesos son independientes. Por tanto:

\[P(A)=1-P\left(\,\overline{A}\,\right)=1-P\left(\,\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\ldots\cap\overline{A_n}\,\right)=\]

\[=1-P\left(\,\overline{A_1}\,\right)\cdot P\left(\,\overline{A_2}\,\right)\cdot\ldots\cdot P\left(\,\overline{A_n}\,\right)=\]

\[=1-\frac{35}{36}\cdot\frac{35}{36}\cdot\ldots\cdot\frac{35}{36}=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n\]

Si queremos que la probabilidad anterior sea igual a \(\displaystyle\frac{1}{2}\), entonces:

\[1-\left(\frac{35}{36}\right)^n=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(\frac{35}{36}\right)^n=\frac{1}{2}\]

Tomando logarimos en la última expresión:

\[\ln\left(\frac{35}{36}\right)^n=\ln\left(\frac{1}{2}\right)\Rightarrow n\cdot\ln\left(\frac{35}{36}\right)=\ln{1}-\ln{2}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow n\cdot(\ln{35}-\ln{36})=-\ln{2}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow n=\frac{-\ln{2}}{\ln{35}-\ln{36}}\approx24.605\]

Por tanto, deberemos de jugar un mínimo de \(25\) partidas para que la probabilidad de obtener al menos un seis doble sea de \(\displaystyle\frac{1}{2}\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

2 comentarios

  1. Gracias querido Profesor Pedro, sus artículos son una maravilla y súper didácticos, las utilizo un montón para enseñar a mis alumnos… Desde Argentina, gracias…

    • Pedro Castro Ortega

      Muchas gracias a ti Santiago por visitar mi Web. Esta todo a vuestra entera disposición.
      Saludos desde La Mancha, tierra del Quijote.

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

Visualización propiedades probabilidad

Sobre probabilidad en Matemáticas II (2º de Bachillerato)

Vamos a invertir la forma de trabajar para aprender teoría y práctica del bloque de ...

Resolviendo problemas de geometría con desmos

En la clase de 1º de Bachillerato (Matemáticas I) hemos trabajado por grupos de dos ...

Una integral racional más elaborada

En este artículo vamos a calcular una primitiva de la función \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3-1}{x^3+1}\). Es decir, ...

A %d blogueros les gusta esto: