Límite de una función en un punto o en el infinito

El cálculo del límite de una función en un punto o en el infinito es, a partir del primer curso de bachillerato, una parte fundamental de la materia de matemáticas, tanto en la modalidad de ciencias y tecnología, como en la modalidad de ciencias sociales.

Supongamos que ya hemos adquirido cierta familiaridad con el concepto de función real de variable real y algunas de las propiedades de las mismas: gráfica o curva asociada a la función, dominio, imagen o recorrido, puntos de corte con los ejes, idea intuitiva de continuidad, simetrías, monotonía (crecimiento y decrecimiento), extremos (máximos y mínimos), curvatura,… Supongamos también que conocemos ciertas funciones elementales (función lineal, cuadrática, de proporcionalidad inversa y funciones polinómicas y racionales en general). A partir de este momento nos planteamos la necesidad de interpretar las “tendencias” a las que se ve sometida la gráfica de la función en ciertos puntos o en el infinito (que es a lo que llamaremos límite de una función en un punto o en el infinito).

Límite de una función en un punto

Imaginemos, por ejemplo, que una función viene dada por la siguiente gráfica:

Como se puede observar, cuando en el eje \(X\) nos “acercamos” cada vez más a \(1\), bien por la derecha, bien por la izquierda, las imágenes se hacen cada vez más grandes. Utilizando un lenguaje más matemático, más formal, \(f(x)\) tiende a «más infinito» si \(x\) tiende a \(1\). La notación matemática para describir esto es \(f(x)\rightarrow+\infty\ (x\rightarrow1)\). También se suele decir que el límite de la función cuando \(x\) tiende a uno es más infinito y se escribe así:

\[\lim_{x\to1}f(x)=+\infty\]

Aunque decir que un límite es más infinito sea un poco extraño. Pero bueno, nos entendemos, ¿no?

Es un ejemplo de tendencia de la gráfica a infinito cuando \(x\) tiende a un punto, en este caso en \(x=1\). Por supuesto, en aquellos puntos donde la función sea continua se cumplirá, naturalmente, que el límite cuando \(x\) tienda al punto será igual a la imagen de la función en el punto:

\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]

La idea de continuidad viene asociada con el hecho de poder dibujar la gráfica “sin levantar el lápiz del papel”. Obsérvese que la gráfica anterior es continua siempre salvo en \(x=1\). Y es curioso. La gráfica de la función se acerca cada vez más a la recta vertical que pasa por \(x=1\), pero no llega a tocarla: eso es lo que quiere decir que el límite cuando \(x\) tiende a \(1\) es «infinito», que cuando nos acercamos más y más al punto \(1\), las imágenes se hacen cada vez más grandes, siempre.

Parece extraño, acercarnos indefinidamente a algo cada vez más y sin llegar a tocarlo. ¿Pero esto es posible? Pues sí, sí que lo es. Esa es la idea de tendencia a infinito cuando nos acercamos a un punto concreto en el eje \(X\). Además, en estos casos, se dice que la recta vertical \(x=1\) es una asíntota vertical de la función. Es fácil construir funciones que tengan asíntotas verticales en un punto cualquiera, por ejemplo, en \(1\). Basta construir una función racional que anule el denominador cuando se haga \(x=1\). Por poner un ejemplo: \(f(x)=\dfrac{x+2}{x^2-1}\). Su gráfica es la siguiente:

Límite de una función en el infinito

Pero volvamos a fijarnos en la en la primera gráfica.

¿Qué ocurre ahora si lo que hacemos es tender en el eje \(X\) hacia menos infinito, o hacia más infinito? Es fácil darse cuenta de que, si \(x\) tiende a menos infinito las imágenes se acercan cada vez más a cero, y si \(x\) tiende a más infinito, las imágenes van tendiendo continuamente y cada vez más hacia el número \(2\). Simbólicamente escribiremos

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\quad;\quad\lim_{x\to+\infty}f(x)=2\]

En estos casos la gráfica vuelve a acercarse de manera indefinida y continuamente hacia rectas horizontales. Esta es la idea de límite en el infinito. La función se estabiliza en un punto cuando \(x\) tiende a más o menos infinito. En general si ocurre que

\[\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=k\]

se dice que \(y=k\) es una asíntota horizontal.

Finalmente puede ocurrir también que el límite en el infinito sea también infinito, es decir, que

\[\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\]

En estos casos la gráfica de la función procede de un «lugar lejano» en el segundo o en el tercer cuadrante y se desvía también hacia un «lugar lejano» en el primer o en el cuarto cuadrante. Estas ramas «lejanas» de las que procede o a las que se dirige la función se suelen llamar ramas parabólicas.

Un ejemplo gráfico puede ser el de la función \(f(x)=-x^3+2x-3\):

Obsérvese que, en este caso

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\quad;\quad\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\]

Hay funciones que, en el infinito, tienen otros comportamientos. Por ejemplo, el caso de algunas funciones trigonométricas o sinuosidales:

En estos casos no existe el límite en el infinito, pues la función oscila continuamente entre \(-1\) y \(1\).

A modo de conclusión

Una de las cosas a tener en cuenta, si queremos representar o interpretar adecuadamente la gráfica de una función, es el estudio de las tendencias de la función en el infinito y en determinados puntos, lo que nos permitirá situar las asíntotas horizontales y verticales de la función o adivinar en todo caso de donde procede y hacia donde va la gráfica de la función. El cálculo de límites es pues imprescindible para ello. El cálculo de límites también permite obtener un tercer tipo de asíntotas (las oblicuas, que también se explican en este artículo) y, lo que es más importante, adivinar dónde se encuentran los máximos y mínimos relativos de la función. Al fin y al cabo una derivada es un límite. Pero de todo eso hablaremos en otro momento…

Para saber más: lo que dice la Wikipedia sobre el límite de una función.