La solución de la ecuación de segundo grado

Sabemos que una ecuación de segundo grado es una igualdad de la forma

\[ax^2+bx+c=0\]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, llamados coeficientes (\(a\neq0\)), y \(x\) es un número desconocido, llamado incógnita. El objetivo es, naturalmente, despejar la incógnita. Por ejemplo, ¿cuánto ha de valer \(x\) para que se cumpla la igualdad \(3x^2+2x-8=0\)? Probando con números enteros llegamos rápidamente a la conclusión de que una solución es \(x=-2\), ya que

\[3\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)-8=3\cdot4-4-8=12-4-8=0\]

Incluso, es más, aplicando la regla de Ruffini tenemos:

\[\begin{array}{r|rrr}
&3&2&-8\\
-2& &-6&8\\
\hline
&3&-4&0\\
\end{array}\]

Esto quiere decir que al dividir el polinomio \(3x^2+2x-8\) entre el polinomio \(x-(-2)=x+2\), el cociente es \(3x-4\) y el resto es \(0\), es decir

\[3x^2-2x-8=(x+2)(3x-4)\]

Por tanto, la ecuación \(3x^2+2x-8=0\) es equivalente a esta otra

\[(x+2)(3x-4)=0\]

Y de aquí, también se obtiene otra solución de la ecuación de segundo grado igualando el segundo factor a cero:

\[3x-4=0\Rightarrow x=\frac{4}{3}\]

Uno de los resultados que se trabajan en matemáticas a nivel de secundaria obligatoria es que las posibles raíces enteras de un polinomio son los divisores del término independiente. Así, si encontramos alguna raíz entera, podemos factorizar el polinomio de grado dos usando la regla de Ruffini y obtener la otra solución de la ecuación, tal y como se ha hecho en el ejemplo anterior. Pero, ¿y si no encontramos raíces enteras? Si el alumno desconoce la fórmula mediante la cual se obtienen las soluciones de una ecuación de segundo grado, difícilmente llegará a dar con las mismas. Recordemos que las soluciones de la ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\) vienen dadas por las siguientes fórmulas:

\[x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad;\quad x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Fórmulas que se suelen resumir en una sola:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Pero, ¿de dónde sale esta fórmula? A continuación vamos a intentar deducirla. Antes de ponernos a ello, vamos a recordar una identidad notable, de cuyo uso haremos en la deducción de las soluciones de la ecuación de segundo grado.

\[(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2\]

La identidad anterior es conocida como cuadrado de una suma. Desgraciadamente, es más común de lo deseable que el alumnado de matemáticas de Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato confunda esta identidad con esta otra

\[(a+b)^2=a^2+b^2\]

que es, evidentemente, falsa. Pero la tentación de escribir el cuadrado de una suma como suma de cuadrados a veces nos puede y un exceso de intuición nos lleva, de hecho, a escribirla. Así por ejemplo, no es de extrañar ver igualdades incorrectas como la siguiente:

\[(3x^2+4)^2=(3x^2)^2+4^2=9x^4+16\]

cuando lo correcto sería escribir

\[(3x^2+4)^2=(3x^2)^2+2\cdot3x^2\cdot4+4^2=9x^4+24x^2+16\]

Del cuadrado de la suma también se deduce el cuadrado de la diferencia:

\[(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

El cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia nos permiten escribir expresiones algebraicas de manera equivalente a otras en las que aparezca un cuadrado. Veamos un ejemplo.

\[2x^2-x-1=2\left(x^2-\frac{x}{2}\right)-1=\]

\[=2\left(x^2-\frac{x}{2}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}\right)-1=2\left(\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)-1\]

¿Qué hemos hecho? En primer lugar hemos sacado el número \(2\) factor común en los dos primeros sumandos usando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Más concretamente, si \(a\neq0\), entonces:

\[ax^2+bx=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)\]

En segundo lugar, y puesto que dentro del paréntesis aparece \(x^2\), podemos pensar en completar a un cuadrado. Dicho de otro modo, ¿cómo podremos arreglar la expresión general \(x^2+px\) o \(x^2-px\) para obtener otra igual en la que aparezca un cuadrado? Puesto que

\[\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=x^2+px+\frac{p^2}{4}\quad;\quad\left(x-\frac{p}{2}\right)^2=x^2-px+\frac{p^2}{4}\]

podemos escribir

\[x^2+px=x^2+px+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}\]

\[x^2-px=x^2-px+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}=\left(x-\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}\]

Volvamos al ejemplo anterior. Tenemos la expresión \(2x^2-x\). En primer lugar extraemos factor común el número \(2\):

\[2x^2-x=2\left(x^2-\frac{1}{2}x\right)\]

En este caso \(p=\frac{1}{2}\), con lo que \(\frac{p}{2}=\frac{1}{4}\) y \(\frac{p^2}{4}=\frac{1}{16}\). Por tanto:

\[x^2-\frac{1}{2}x=x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}=\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\]

Con lo que finalmente tenemos:

\[2x^2-x=2\left(x^2-\frac{1}{2}x\right)=2\left(\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)\]

Este proceso de completar cuadrados permite resolver ecuaciones de segundo grado. Pensemos en la ecuación \(2x^2-x-1=0\). Por lo visto anteriormente la podemos escribir así:

\[2\left(\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)-1=0\]

Sumando \(1\) en los dos miembros y luego dividiendo entre \(2\) los dos miembros de la igualdad obtenida, llegamos a

\[\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}=\frac{1}{2}\]

Finalmente, sumando en ambos miembros \(\frac{1}{16}\) y usando que las soluciones de \(x^2=t\) son, evidentemente, \(x=\pm\sqrt{t}\), tenemos:

\[\left(x-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}\Rightarrow\left(x-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x-\frac{1}{4}=\pm\sqrt{\frac{9}{16}}\Rightarrow x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}\]

Así, obtenemos que las dos soluciones de la ecuación de segundo grado \(2x^2-x-1=0\) son:

\[x_1=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1\quad;\quad x_2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\]

Podríamos seguir el proceso anterior para obtener las soluciones de la ecuación general de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq0\)). Vamos allá.

\[ax^2+bx+c=0\Rightarrow a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right)+c=0\Rightarrow \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\Rightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\Rightarrow \]

\[\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Usemos este método para resolver otra ecuación de segundo grado, por ejemplo \(-3x^2+5x+4=0\).

\[-3x^2+5x+4=0\Rightarrow-3\left(x^2-\frac{5}{3}x\right)+4=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow -3\left(x^2-\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2\right)+4=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-3\left(\left(x-\frac{5}{6}\right)^2-\frac{25}{36}\right)+4=0\Rightarrow\left(x-\frac{5}{6}\right)^2-\frac{25}{36}=\frac{4}{3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \left(x-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36}+\frac{4}{3}\Rightarrow \left(x-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{73}{36}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x-\frac{5}{6}=\pm\sqrt{\frac{73}{36}}\Rightarrow x=\frac{5}{6}\pm\frac{\sqrt{73}}{6}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{5+\sqrt{73}}{6}\quad;\quad x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}\]

Es cierto que estamos acostumbrados a obtener las soluciones mediante la fórmula general:

\[x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot(-3)\cdot4}}{2\cdot(-3)}=\]

\[=\frac{-5\pm\sqrt{25+48}}{-6}=\frac{-5\pm\sqrt{73}}{-6}=\begin{cases}
x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}\\
x=\frac{5+\sqrt{73}}{6}
\end{cases}\]

Pero no estaría mal resolver algunas ecuaciones de segundo grado sin hacer uso de la fórmula general, entre otras cosas porque se podría afianzar el uso de igualdades notables y se adquiriría mucha familiaridad con las expresiones algebraicas a través de la manipulación de éstas, cosa de la que adolecen muchos de los alumnos que cursan matemáticas tanto en la Educación Secundaria Obligatoria como en el Bachillerato.