La problemática del infinito

La primera persona que planteó la problemática del infinito fue el filósofo griego Zenón de Elea, que vivió en el siglo V a.C. En una de sus famosas paradojas describía una hipotética carrera entre Aquiles y una tortuga. Como el héroe heleno es más rápido, la tortuga parte con cierta distancia de ventaja. El célebre guerrero empieza en el punto \(A\) y su retador en un punto \(B\) por delante de él. En cuanto da comienzo la carrera, Aquiles sale con pies ligeros y pronto alcanza el punto \(B\), pero para entonces la tortuga ya ha avanzado hasta el punto \(C\). Aquiles entonces surca el espacio hasta \(C\). Pero de nuevo, cuando llega a esa posición, la tortuga ya se ha arrastrado hasta \(D\). Aquiles debe alcanzar \(D\), por supuesto, pero cuando lo haga, la tortuga ya se encontrará en \(E\). Zenón argumentaba que este «corre que te pillo» se prolongaría eternamente y, en consecuencia, el veloz Aquiles nunca conseguiría adelantar a su lento rival cuadrúpedo. El atleta es mucho más rápido que la tortuga, pero no puede vencerla en una carrera.

Todas las paradojas de Zenón extraen conclusiones aparentemente absurdas mediante la disección del movimiento continuo en eventos discretos. Antes de que Aquiles pueda alcanzar a la tortuga, debe completar un número infinito de tramos finitos. La paradoja nace de la suposición de que es imposible completar un número infinito de intervalos espaciales en un tiempo finito.

Sin embargo, los griegos no poseían la profundidad de la comprensión matemática de infinito para ver que esa suposición es una falacia. Es posible completar un número infinito de tramos en un tiempo finito. El requisito es que estos sean cada vez más cortos y breves, y que tanto la distancia como el tiempo tiendan a cero. No obstante, esta es una condición necesaria pero no suficiente; los intervalos también tienen que reducirse de acuerdo con una determinada proporción.

Esto es lo que ocurre con Aquiles y la tortuga. Supongamos que Aquiles corre a una velocidad dos veces mayor que la de la tortuga, y que \(B\) está a \(1\) metro de distancia de \(A\). Cuando Aquiles alcanza el punto \(B\), la tortuga se ha desplazado \(\dfrac{1}{2}\) de metro hasta el punto \(C\). Cuando Aquiles llega a \(C\), la tortuga ha avanzado \(\dfrac{1}{4}\) de metro hasta el punto \(D\). Y así sucesivamente. La distancia total en metros que debe correr Aquiles para alcanzar a la tortuga es:

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\]

Si Aquiles tardara un segundo en completar cada uno de estos intervalos, le llevaría una eternidad completar toda la distancia. Pero no es el caso. A una velocidad constante, tardarán un segundo en recorrer un metro, medio segundo en recorrer medio metro, un cuarto de segundo en recorrer un cuarto de metro, etc. Por tanto, el tiempo en segundos que necesita para alcanzar a la tortuga viene determinado por la misma suma:

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\]

Cuando tanto el tiempo como la distancia se describen mediante una sucesión en la que cada término es la mitad del anterior, ambas magnitudes convergen simultáneamente en un valor fijo y finito. En el caso planteado, \(2\) segundos y \(2\) metros. Esto no es difícil de demostrar.

Llamemos

\[x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\]

Como

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots=1+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\right)\Rightarrow\]

entonces

\[1+\frac{1}{2}x=x\Rightarrow 2+x=2x\Rightarrow x=2\]

Así pues rsulta que Aquiles sí atrapará a la tortuga.

No todas las paradojas de Zenón se solucionan con series infinitas. En la «paradoja de la dicotomía» un corredor va de \(A\) a \(B\). En este caso, llamaremos \(C\) al primer punto por el que pase el corredor después de salir de \(A\). Sin embargo, para llegar a \(C\), el corredor ha tenido que cruzar el punto que está a mitad de camino de \(C\). Por tanto, \(C\) no puede ser el primer punto por el que pasa. De ahí se deduce que no puede haber un «primer punto» de paso, pues siempre habrá otro por el que el corredor deba pasar antes. Si ese primer punto no existe, argumentaba Zenón, el corredor nunca podrá salir de \(A\).

Según la leyenda, para refinar esta paradoja, Diógenes el Cínico se levantó en silencio y caminó desde \(A\) hasta \(B\), demostrando así que el movimiento era posible. Pero la paradoja de la dicotomía de Zenón no se rebate con tanta facilidad. En más de dos mil años de sesuda meditación académica nadie ha sido capaz de resolver el problema en su totalidad. Parte de la confusión se debe a que una linea continua no puede representarse perfectamente mediante una sucesión de infinitos puntos ni mediante un número infinito de intervalos pequeños, de igual modo que el ininterrumpido transcurso del tiempo no puede representarese de forma exacta con un número infinito de momentos discretos. Los conceptos de continuidad y «discreticidad» no son completamente reconciliables.

El sistema decimal arroja un excelente ejemplo de paradoja inspirada en Zenón. ¿Cuál es el mayor número menor que \(1\)? No es \(0,9\), pues \(0,99\) es mayor y sigue siendo menor que \(1\). Asímismo \(0,999\) es mayor que \(0,99\) y menor que \(1\). El único candidato posible es el decimal periódico \(0,9999\ldots\), donde los puntos suspensivos indican que los nueves se repiten eternamente. Pero aquí es donde aparece la paradoja. ¡No puede ser \(0,9999\ldots\) porque \(0,9999\ldots\) es idéntico a \(1\)!

Piénsalo de este modo. Si \(0,9999\ldots\) es un número diferente de \(1\), debería haber un espacio entre ellos en la recta numérica real, y por tanto debería ser posible encajar en ese hueco un número que fuera mayor que \(0,9999\ldots\) e inferior a \(1\). ¿Qué número podría ser ese? No hay número más cercano a \(1\) que \(0,9999\ldots\) Así pues, si \(0,9999\ldots\) y \(1\) no pueden ser diferentes, tienen que ser el mismo. Aunque nuestra intuición lo niegue, \(0,9999\ldots=1\).

Matemáticamente lo podemos demostrar de la siguiente manera. Llamemos \(x=0,9999\ldots\) Entonces \(10x=9,9999\ldots\) Restando esta segunda igualdad de la primera tenemos: \(10x-x=9,9999\ldots-0,9999\ldots\Rightarrow9x=9\). Con lo que \(x=1\).

Entonces, ¿cuál es el mayor número menor que \(1\)? La única conclusión satisfactoria de esta paradoja es que el número más grande inferior a \(1\) no existe. (Lo mismo ocurre con \(2\), con \(3\) y, en definitiva, con cualquier número.)

La paradoja de la carrera de Aquiles contra la tortuga se resolvió escribiendo las duraciones de sus carreras como una suma con una cantidad infinita de términos, lo que también se conoce como serie infinita. La suma de los elementos de una sucesión se denomina serie, y esta puede ser finita o infinita. Por ejemplo, si sumas los cinco primeros números naturales, obtendrás la serie finita:

\[1+2+3+4+5=15\]

Esta operación se puede efectuar mentalmente, pero cuando una serie se compone de muchos términos, el reto está en encontrar un atajo. Hay un célebre ejemplo protagonizado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss cuando áun era un muchacho. Según se cuenta, su profesor le pidió que calculara la suma de la serie formada por los cien primeros números naturales:

\[1+2+3+\ldots+98+99+100\]

Ante la incredulidad del profesor, Gauss contestó casi al instante: «cinco mil cincuenta». El joven prodigio había utilizado la siguiente fórmula. Si se empareja el primer número con el último, el segundo con el penúltimo, etc., la serie puede reescribirse como:

\[(1+100)+(2+99)+(3+98)+\ldots+(49+52)+(50+51)\]

Que es:

\[101+101+101+\ldots+101+101\]

Hay cincuenta términos, cada uno de ellos con un valor de \(101\), luego la suma equivale a \(50\cdot101=5050\). Podemos generalizar este resultado para cualquier número \(n\); la suma de los \(n\) primeros números es \(n+1\) sumado \(\dfrac{n}{2}\) veces, que es igual a \(\dfrac{n(n+1)}{2}\). En el caso anterior, \(n=100\), luego la solución es \(\dfrac{100(100+1)}{2}=5050\).

Cuando se suman los términos de una sucesión finita siempre se obtiene un número finito, esto es evidente. Sin embargo, cuando se suman los términos de una serie infinita surgen dos escenarios posibles. El límite, que es el valor al que se aproxima la suma a medida que se añaden términos, puede ser un número finito o puede ser infinito. Si el límite es finito, la serie se denomina convergente. De lo contrario, la serie es divergente (en realidad, hay un tercer escenario: cuando el límite no existe; en este caso, la serie sería oscilante).

Por ejemplo, ya hemos visto que la serie

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\,\ldots\]

es convergente, y tiende a \(2\).

Por otra parte la serie

\[1+2+3+4+5+\ldots\]

es divergente, se encamina hacia infinito.

Quizá los griegos  recelasen del infinito, pero los matemáticos del siglo XVII estaban encantados con él. La comprensión de las series infinitas fue indispensable para que Isaac Newton inventara el cálculo diferencial e integral, uno de los desarrollos más importantes de las matemáticas.

Un ejercicio muy común para el estudiante de un primer curso universitario de matemáticas, es aquel en que te dan una serie infinita y te piden que descubras si es convergente o divergente. Es verdaderamente alucinante que la diferencia entre convergente y divergente sea tan brutal (la diferencia entre un número finito y el infinito es infinita) y que, sin embargo, los elementos que decidan el camino que toma la serie a menudo parezcan insignificantes.

Observa la serie armónica:

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\,\ldots\]

El numerador de cada término es \(1\), y los denominadores son los números naturales. A simple vista, la serie armónica debería converger. Cada elemento de la serie disminuye progresivamente, luego cabría pensar que la suma de todos los términos está acotada por una cantidad fija. Pero, singularmente, la serie armónica es divergente: un caracol que va aminorando la marcha pero que nunca se detiene. Tras cien términos de la serie, el total está ligeramente por encima de \(5\). Hacen falta

\[15.092.688.622.113.788.323.693.563.264.538.101.449.859.497\]

términos para que la suma sobrepase por primera vez la barrera de \(100\). Pero este obstinado caracol continuará en su empeño por escapar y superará cualquier distancia delimitada. La serie finalmente llegará a un millón, después a mil millones, aproximándose cada vez más a infinito.

Para demostrar matemáticamente que la se armónica diverge, en otras palabras, que

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\,\ldots\]

tiende infinito, demostraremos que la serie armónica es mayor que la siguiente serie, cuyor términos suma infinito:

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\,\ldots\]

Comparemos los términos de la serie armónica en grupos de dos, cuatro, ocho, etc., a partir del tercero.

• Términos \(3\) y \(4\): \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)

• Términos \(5\) a \(8\): \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=4\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\)

• Términos \(9\) a \(16\): \(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{16}>8\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{2}\)

• Términos \(17\) a \(32\): \(\dfrac{1}{17}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{19}+\ldots+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}>16\cdot\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{2}\)

• Y así sucesivamente\(\ldots\)

En la lista anterior se aprecia que, como \(\dfrac{1}{3}\) es mayor que \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\) debe ser mayor que \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\), que es igual a \(\dfrac{1}{2}\). Asimismo, como \(\dfrac{1}{5}\), \(\dfrac{1}{6}\) y \(\dfrac{1}{7}\) son mayores que \(\dfrac{1}{8}\), eso significa que \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\) es mayor que cuatro octavos, es decir, \(\dfrac{1}{2}\). Si continuamos el proceso, considerando cada vez el doble de términos, veremos que es posible sumar cada grupo de términos para obtener un valor mayor que \(\dfrac{1}{2}\).

La serie armónica, por tanto, es mayor que

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\,\ldots\]

que es infinitas veces un medio, que es igual a infinito. Luego la serie armónica es mayor que infinito; en otras palabras, es infinito.