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Definición
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.
Entre las muchas aplicaciones de la parábola es destacable el hecho de que la trayectoria de cualquier proyectil es parabólica.
Ecuación reducida
Hallaremos la ecuación de una parábola cuyo foco se encuentre en el eje de abscisas y cuya directriz sea una recta vertical a la misma distancia del origen que el foco.
Como la distancia entre foco y directriz se suele designar por \(p\) (parámetro) tendremos que el foco es el punto \(F\left(\dfrac{p}{2}\,,\,0\right)\) y la directriz tendrá ecuación \(x=-\dfrac{p}{2}\) (ver figura anterior).
Por la definición de parábola tenemos:
\[d(F\,,\,p)=d(P\,,\,d)\]
Recordemos, en primer lugar, que para hallar la distancia de un punto a una recta se utiliza la ecuación normal de la recta \(\dfrac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+b^2}}\). En este caso, para la directriz \(d\), se tiene que \(A=1\), \(B=0\), \(C=\dfrac{p}{2}\).
Por tanto:
\[\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+(y-0)^2}=\frac{\displaystyle x+\frac{p}{2}}{\sqrt{1+0}}\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow \sqrt{x^2+\frac{p^2}{4}-px+y^2}=x+\frac{p}{2}\]
Elevando los dos miembros de esta última expresión al cuadrado:
\[x^2+\frac{p^2}{4}-px+y^2=x^2+\frac{p^2}{4}+px\]
y reduciendo términos semejantes tenemos la ecuación reducida de la parábola:
\[y^2=2px\qquad(7)\]
- Ejemplo 9
La parábola cuyo foco es el punto \(P(3\,,\,0)\) y cuya directriz es la recta vertical \(x=-3\) tiene la ecuación
\[y^2=12x\]
ya que \(p=d(F\,,\,d)=6\)
Efectuando sucesivos giros de ejes de amplitud \(-90^{\text{o}}\), o bien a partir de la definición se obtienen las ecuaciones de las parábolas de la figura siguiente:
Descripción
A parte del foco y de la directriz son elementos importantes de la parábola el eje y el vértice. El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. El vértice de la parábola es el punto de ella que está en el eje. El segmento \(PF\) es el radio vector del punto \(P\) (véase la figura siguiente).
- Ejemplo 10
En la parábola de la primera de las figuras de este artículo, el eje de la parábola es el eje de abscisas \(y=0\) y el vértice de la parábola es el origen de coordenadas.
Ecuación general
Para hallar la ecuación de una parábola de eje oblicuo como la de la figura anterior se debe aplicar la definición de parábola (suponiendo conocidos el foco y la directriz). Veámoslo con un ejemplo.
- Ejemplo 11
Averiguar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto \((2\,,\,3)\) y cuya directriz es la recta \(x-y=0\) (bisectriz del primer y tercer cuadrantes)
Se trata de aplicar correctamente la definición de parábola. Tenemos que partir de que si \(P(x\,,\,y)\) es un punto cualquiera de la parábola, entonces:
\[d(F\,,\,P)=d(P\,,\,d)\Leftrightarrow\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=\frac{x-y}{\sqrt{2}}\]
Elevando al cuadrado y operando:
\[(x-2)^2+(y-3)^2=\frac{(x-y)^2}{2}\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow x^2+4-4x+y^2+9-6y=\frac{x^2+y^2-2xy}{2}\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow2x^2+8-8x+2y^2+18-12y=x^2+y^2-2xy\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-8x-12y+26=0\]
Aplicando a esta ecuación una traslación y un giro de ejes adecuados, obtendríamos una ecuación como las que estamos acostumbrados a ver representando a una parábola
Normalmente las parábolas que utilizaremos tendrán el eje horizontal o vertical y para obtener su ecuación basta hacer una traslación de ejes, como se puede ver en la figura siguiente.
- Ejemplo 12
Calculemos la ecuación de un parábola cuyo foco es el punto \((2\,,\,3)\) y cuyo vértice es el punto \((3\,,\,5)\)
Se trata de una parábola vertical cuyo vértice está por encima del foco, con lo que se «abrirá» hacia abajo. Calculemos su ecuación, según la segunda fórmula de la figura anterior: \((x-a)^2=-2p(y-b)\). Como \(V(a\,,\,b)=(2\,,\,3)\), y \(p=2\cdot d(F\,,\,V)=6\), tenemos que la ecuación de la parábola es:
\[(x-3)^2=-12(y-5)\]
Si desarrollamos tenemos:
\[x^2-6x+9=-12y+60\]
Y despejando la variable \(y\):
\[y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{51}{12}\]
Esta es la ecuación de una parábola de las que se trabajan habitualmente en 3º o 4º de Educación Secundaria Obligatoria.
