Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Definición
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
A esa constante se la suele designar por \(2a\).
Las órbitas de los planetas en torno al sol y la del electrón en torno al núcleo del átomo son elípticas.
Ecuación reducida
Vamos a averiguar la ecuación de una elipse cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos respecto del origen de coordenadas (ver figura).
Sean \(F(c\,,\,0)\) y \(F'(-c\,,\,0)\) los focos y \(P(x\,,\,y)\) un punto cualquiera de la elipse. La definición nos dice que:
\[d(F\,,\,P)+d(F’\,,\,P)=2a\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}=2a\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]
Elevando los dos miembros de esta última expresión al cuadrado:
\[(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow x^2+c^2+2cx+y^2=4a^2+x^2+c^2-2cx+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]
Aislamos el radical y simplificamos por \(4\):
\[4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx\Leftrightarrow a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx\]
Elevamos de nuevo al cuadrado:
\[a^2\left((x-c)^2+y^2\right)=(a^2-cx)^2\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow a^2x^2+a^2c^2-2a^2cx+a^2y^2=a^4-c^2x^2-2a^2cx\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\]
Dividiendo los dos miembros por \(a^2(a^2-c^2)\), queda:
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\]
Si llamamos \(b^2=a^2-c^2\) resulta:
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(3)\]
- Ejemplo 4
La ecuación de la elipse cuyos focos son \(F(4\,,\,0)\) y \(F(-4\,,\,0)\) y tal que la suma de distancias de un punto cualquiera de ella a los focos es 10 es:
\[\begin{cases}2a=10\Rightarrow a=5\\b^2=a^2-c^2\Rightarrow b^2=25-16=9\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\]
Descripción
En la ecuación \((3)\):
\[y=0\Rightarrow x=\pm a\Rightarrow\begin{cases}A(a\,,\,0)\\A'(-a\,,\,0)\end{cases}\]
\[x=0\Rightarrow y=\pm b\Rightarrow\begin{cases}B(0\,,\,b)\\B'(0\,,\,-b)\end{cases}\]
\(A\), \(A’\), \(B\) y \(B’\) son los vértices de la elipse. \(2a\) es la longitud sel eje mayor de la elipse y \(a\) es el semieje mayor. \(2b\) es la longitud del eje menor y \(b\) es el semieje menor. \(2c\) es la distancia focal y \(c\) es la semidistancia focal. La relación entre estos tres números es, como ya se ha comentado, anteriormente \(b^2=a^2-c^2\) (se cumple el teorema de Pitágoras; lo puedes apreciar en la figura siguiente).
Los segmentos \(PF=r\) y \(PF’=r’\) son los radios vectores del punto \(P\).
Excentricidad
La excentricidad de una elipse es el cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor:
\[e=\frac{c}{a}\]
Como \(c\leq a\), entonces \(0\leq e\leq 1\).
- Ejemplo 5
En la elipse del ejemplo 4, la excentricidad es \(e=\dfrac{4}{5}\)
Como el nombre parece indicar, la excentricidad mide el mayor o menor achatamiento de la elipse (obsérvese la figura siguiente).
Ecuación general
Para hallar la ecuación de una elipse cuyo eje mayor no sea el de abscisas o cuyo centro no sea el origen de coordenadas, se ha de tener en cuenta cómo se trasladan y giran los ejes, cuestiones que se trataron en el curso de geometría métrica plana. Observa en todo caso las dos figuras siguientes.
HOLA. SU PRIMERA FIGURA, LA DEL JARDINERO, ESTÁ MAL HECHA.
LAS ESTACAS DEBERÍAN ESTAR COLOCADAS, AMBAS, EN LOS FOCOS. Y NINGUNA EN EL CENTRO.
UN SALUDO
Lleva usted razón. Ya he cambiado la imagen del principio del artículo por otra distinta.
Gracias.