Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Definición
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.
La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es el radio \(r\).
Ecuación general
Consideramos en el plano un sistema de referencia ortonormal \(\{O\,;\,\{\textbf{i},\,\textbf{j}\}\}\) (obsérvese la figura siguiente).
Si \(C(a\,,\,b)\) es el centro de la circunferencia y \(P(x\,,\,y)\), un punto cualquiera de la misma, la definición nos dice (utilizamos la distancia entre dos puntos):
\[d(C\,,\,P)=r\Leftrightarrow\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\]
Elevando ambos miembros al cuadrado:
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\qquad(1)\]
Esta última es la ecuación de la circunferencia, o sea, la condición que deben cumplir las coordenadas \((x\,,\,y)\) de cualquier punto que esté en la circunferencia de centro \((a\,,\,b)\) y radio \(r\).
- Ejemplo 1
La ecuación de la circunferencia cuyo centro es \(C(2\,,\,-3)\) y que pasa por el punto \(P(-1\,,\,4)\) es:
\[(x-2)^2+(y+3)^2=r^2\]
Para hallar el radio hay que tener en cuenta que \(r=d(C\,,\,P)\):
\[r=d(C\,,\,P)=\sqrt{(1-2)^2+(4+3)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}\]
Por tanto, la ecuación buscada es \((x-2)^2+(y+3)^2=50\)
Desarrollando la ecuación \((1)\) podemos escribir de otra manera la ecuación de la circunferencia:
\[x^2+a^2-2ax+y^2+b^2-2by=r^2\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\]
Si llamamos \(-2a=D\), \(-2b=E\), \(a^2+b^2-r^2=F\), tenemos otra expresión para la ecuación general de la circunferencia:
\[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\qquad(2)\]
- Ejemplo 2
La ecuación de la circunferencia obtenida en el ejemplo 1 podemos transformarla:
\[x^2+4-4x+y^2+9+6y=50\Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y-37=0\]
Obsérvese que:
\[\begin{cases}D=-2a=-4\Rightarrow a=2\\E=-2b=6\Rightarrow b=-3\end{cases}\Rightarrow C=(2\,,\,-3)\]
\[F=a^2+b^2-r^2=27\Rightarrow 2^2+(-3)^2-r^2=37\Rightarrow r^2=50\]
Ecuación reducida
La ecuación reducida es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas. En el caso de la circunferencia la ecuación reducida es:
\[x^2+y^2=r^2\]
si el centro está en (-1, 4), entonces x = -1.
Al calcular el radio, es (-1 – 2) = -3 y no (1 – 2) = 1
en realidad, la circunferencia pasa por (-1, 4). Equivoqué al decir que (-1, 4) es el centro.