Inecuaciones polinómicas de segundo grado. Resolución, ejemplos e interpretación gráfica

Una inecuación de segundo grado es una desigualdad que puede presentar cualquiera de las cuatro formas siguientes:

\[ax^2+bx+c>0\quad;\quad ax^2+bx+c\geq0\]

\[ax^2+bx+c<0\quad;\quad ax^2+bx+c\leq0\]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, llamados coeficientes (\(a\neq0\)), y \(x\) es un número desconocido, llamado incógnita. El objetivo es, naturalmente, despejar la incógnita. A diferencia de las ecuaciones de segundo grado, en las que podía haber dos soluciones, una o ninguna; una inecuación de segundo grado puede tener infinitas soluciones, las cuales se presentan en forma de intervalo. También hay inecuaciones de segundo grado que tienen una sola solución o incluso ninguna. Hasta hay inecuaciones cuya solución es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales.

Nos podemos preguntar, por ejemplo, por las soluciones \(x\) de la inecuación \(-2x^2+2x+4\leq0\). Si tomamos \(x=-2\) y sustituimos, tenemos: \(-2(-2)^2+2(-2)+4=-8-4+4=-8\) y \(-8\leq0\). Por tanto, se verifica la desigualdad que aparece en la inecuación. Así, decimos que \(x=-2\) es una solución de la inecuación. Pero es posible comprobar que también lo son más números. Por ejemplo, son soluciones \(x=-5\), \(x=-8\), \(x=3\), etcétera. Sin embargo, si tomamos \(x=1\) y sustituimos, tenemos ahora: \(-2\cdot1^2+2\cdot1+4=-2+2+4=4\), y \(4\) no es menor o igual que cero. Por tanto, \(x=1\) no es una solución de la inecuación. Pero hay más números que no son solución. Por ejemplo, \(x=0\), \(x=\frac{1}{2}\) o \(x=-0.83\), por decir algunos. ¿Cómo saber todas las soluciones? Daremos aquí un procedimiento razonado para ello.

Antes de comenzar recordemos una propiedad muy importante de las desigualdades: si se multiplica o se divide por un mismo número negativo los dos miembros de una desigualdad, ésta cambia de sentido. Formalmente la podemos escribir así:

\[a<b\ \text{y}\ c<0\Rightarrow ac>bc\]

Esta propiedad es útil para resolver inecuaciones de primer grado. Por ejemplo, la inecuación \(-2x\leq4\) es equivalente, dividiendo los dos miembros entre \(-2\), a esta otra: \(x\geq-2\), que viene a indicar que todos los números mayores que \(-2\), incluido el propio \(-2\), son la solución de la inecuación original (esto, en forma de intervalo, se escribe así: \(x\in[2,+\infty)\)).

Vamos a considerar, para iniciar el proceso de resolución de una inecuación de segundo grado en cualquiera de sus cuatro opciones,

\[ax^2+bx+c>0\quad;\quad ax^2+bx+c\geq0\]

\[ax^2+bx+c<0\quad;\quad ax^2+bx+c\leq0\]

que el coeficiente principal, o coeficiente líder, es mayor que cero, es decir \(a>0\). Si no fuera así bastaría multiplicar por \(-1\) todos los términos y tendríamos una inecuación equivalente con el coeficiente principal mayor que cero, con la que empezar a trabajar.

Ahora vamos a considerar varios casos.

Caso 1

El polinomio \(ax^2+bx+c\) tiene dos raíces reales distintas: \(x_1\) y \(x_2\).

En este caso el polinomio factoriza de la siguiente forma \(a(x-x_1)(x-x_2)\). Por tanto, la inecuación inicial es equivalente a cualquiera de estas otras:

\[a(x-x_1)(x-x_2)>0\quad;\quad a(x-x_1)(x-x_2)\geq0\]

\[a(x-x_1)(x-x_2)<0\quad;\quad a(x-x_1)(x-x_2)\leq0\]

En la práctica dividimos ahora la recta real en tres intervalos, tomando como frontera de los mismos justamente las raíces del polinomio, ordenadas de menor a mayor. A continuación estudiamos el signo de la expresión factorizada \(a(x-x_1)(x-x_2)\) en cada uno de los intervalos. Esto es sencillo: basta sustituir un número cualquiera perteneciente a cada intervalo en la expresión \(a(x-x_1)(x-x_2)\) y devolver el signo resultante: mayor o menor que cero (o lo que es lo mismo, positivo o negativo). Hay un resultado (conocido como lema de conservación del signo) que demuestra que si para un cierto valor el signo es positivo (o negativo), para todos los valores del intervalo el signo será positivo (o negativo). A partir de ahí, dar la solución de la inecuación de segundo grado es fácil. Lo mejor es que lo veamos con un ejemplo.

Resolvamos la inecuación \(-3x^2+9x+30\leq0\).

En primer lugar multiplicaremos todos los términos por \(-1\) para que el coeficiente líder sea mayor que cero (recordemos que cambiará el sentido de la desigualdad).

\[-3x^2+9x+30\leq0\Rightarrow 3x^2-9x-30\geq0\]

Ahora se trata de resolver la inecuación \(3x^2-9x-30\geq0\) (que es equivalente a la primera). Resolviendo la ecuación de segundo grado \(3x^2-9x-30=0\) obtenemos las raíces del polinomio \(3x^2-9x-30\):

\[x=\frac{9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot3\cdot(-30)}}{2\cdot3}=\frac{9\pm\sqrt{81+360}}{6}=\]

\[=\frac{9\pm\sqrt{441}}{6}=\frac{9\pm21}{6}=\begin{cases}
x_1=5\\
x_2=-2
\end{cases}\]

De este modo el polinomio \(3x^2-9x-30\) factoriza de la forma \(3(x-5)(x+2)\) y, naturalmente, la inecuación \(3x^2-9x-30\geq0\) será equivalente a esta otra: \(3(x-5)(x+2)\geq0\). Ahora dividiremos la recta real en tres intervalos: \((-\infty,-2)\), \((-2,5)\) y \((5,+\infty)\); y estudiaremos el signo en cada uno de ellos. Para ello vamos a confeccionar una tabla:

\[ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
(-\infty,-2) & (-2,5) & (5,+\infty) \\
\hline
+ & – & + \\
\hline
\end{array}\]

Expliquemos brevemente el significado. Un número del intervalo \((-\infty,-2)\) es, por ejemplo, \(x=-3\). Si sustituimos este valor en \(3(x-5)(x+2)\), rápidamente advertimos que el resultado es positivo, ya que \(-3-5\) es negativo, \(-3+2\) también es negativo y al multiplicar dos negativos el resultado es positivo. De aquí que el signo del intervalo \((-\infty,-2)\) sea siempre positivo. Tomemos ahora un número del intervalo \((-2,5)\); por ejemplo \(x=0\). Advertimos ahora que \(3(0-5)(0+2)\) es claramente negativo y entonces el signo del intervalo \((-2,5)\) será negativo. Finalmente, tomemos un número del intervalo \((5,+\infty)\); por ejemplo \(x=6\). También es muy fácil darse cuenta de que ahora \(3(6-5)(6+2)\) es positivo y que, por tanto, el signo del intervalo \((5,+\infty)\) es siempre positivo. Todo este párrafo se resume en la tabla anterior.

Ahora, a la vista de la tabla, es muy fácil decidir la solución de la inecuación. Recordemos que nuestra inecuación era \(3x^2-9x-30\geq0\). La notación \(\geq0\) significa «mayor o igual que cero». Es decir, deseamos saber cuándo la expresión \(3x^2-9x-30\) es positiva o cero. Ya hemos visto, según nuestra tabla, que esto ocurre en los intervalos \((-\infty,-2)\) y \((5,+\infty)\). Hemos de añadir también los valores \(x_1=5\) y \(x_2=-2\), pues estos valores hacen que la expresión \(3x^2-9x-30\) sea igual a cero. Por tanto, concluimos que la solución de nuestra inecuación es la unión de los intervalos \((-\infty,-2]\) y \([5,+\infty)\), que abreviadamente se escribe así:

\[(-\infty,-2]\cup[5,+\infty)\]

La inecuación original era \(-3x^2+9x+30\leq0\). ¿Cuál es el significado de la solución anterior desde el punto de vista gráfico? Recordemos que la igualdad \(y=-3x^2+9x+30\) se corresponde gráficamente con una parábola que corta al eje de abscisas (eje \(X\)) en los puntos \(x_1=5\) y \(x_2=-2\). Decir que \(-3x^2+9x+30\leq0\) es lo mismo que decir que \(y\leq0\). Y esto ocurrirá en la parte de la parábola que se encuentre por debajo del eje \(X\). Si nos fijamos en la representación gráfica de la parábola, que tienes a continuación, la parte de la parábola que está por debajo del eje \(X\) se corresponde exactamente con los intervalos solución de la inecuación, es decir, los intervalos \((-\infty,-2)\) y \((5,+\infty)\), los cuales hay que cerrar porque la desigualdad no es estricta y contiene el signo igual. En la gráfica se ha marcado la unión de estos dos intervalos en color azul.

Caso 2

El polinomio \(ax^2+bx+c\) tiene solamente una raíz real doble: \(x_1\).

En este caso el polinomio factoriza de la siguiente forma \(a(x-x_1)^2\). Por tanto, la inecuación inicial es equivalente a cualquiera de estas otras:

\[a(x-x_1)^2>0\quad;\quad a(x-x_1)^2\geq0\]

\[a(x-x_1)^2<0\quad;\quad a(x-x_1)^2\leq0\]

Como quiera que \(a(x-x_1)^2>0\) si \(x\neq x_1\) (recordemos que hemos tomado \(a>0\)) y \(a(x-x_1)^2=0\) si \(x=x_1\), la solución de la inecuación es la siguiente según los casos:

• Si \(a(x-x_1)^2>0\) la solución es \(\mathbb{R}-\{x_1\}\).
• Si \(a(x-x_1)^2\geq0\) la solución es \(\mathbb{R}\).
• Si \(a(x-x_1)^2<0\) la inecuación no tiene solución.
• Si \(a(x-x_1)^2\leq0\) la solución es \(x=x_1\).

Como ejemplo resolvamos la inecuación \(9x^2-30x+25>0\).

Para ello, en primer lugar, resolvamos la ecuación \(9x^2-30x+25=0\) para obtener las raíces del polinomio \(9x^2-30x+25\). El discriminante de la ecuación es igual a cero:

\[\Delta=(-30)^2-4\cdot9\cdot25=900-900=0\]

Por tanto la ecuación de segundo grado tiene una única solución:

\[x_1=\frac{-(-30)}{2\cdot9}=\frac{30}{18}=\frac{5}{3}\]

Esto quiere decir que la única raíz (doble) del polinomio \(9x^2-30x+25\) es \(x=\frac{5}{3}\). Por tanto:

\[9x^2-30x+25=9\left(x-\frac{5}{3}\right)^2\]

Con lo que

\[9x^2-30x+25>0\Rightarrow9\left(x-\frac{5}{3}\right)^2>0\]

Estamos en el primer caso de los cuatro mencionados anteriormente, con lo que la solución de la inecuación es \(\mathbb{R}-\{\frac{5}{3}\}\). La interpretación gráfica es que la parábola \(y=9x^2-30x+25\) es tangente al eje \(X\) en el punto \(x=\frac{5}{3}\) y se abre hacia arriba:

Si la inecuación original fuese \(9x^2-30x+25\geq0\) estaríamos en el segundo caso y la solución sería todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales. Si fuese \(9x^2-30x+25<0\) la inecuación no tendría solución (tercer caso) y, finalmente, si la inecuación original fuese \(9x^2-30x+25\leq0\), quedaría ubicada en el cuarto caso y la única solución sería \(x=\frac{5}{3}\) (uno puede imaginar con facilidad el significado desde el punto de vista gráfico).

Caso 3

El polinomio \(ax^2+bx+c\) no tiene raíces reales.

En este caso el polinomio \(ax^2+bx+c\) no se puede expresar como producto de polinomios de grado uno, con lo que solamente quedan dos alternativas: o bien la solución es todo \(\mathbb{R}\), o bien la inecuación no tiene solución. Esto es porque la parábola \(y=ax^2+bx+c\) se encuentra toda ella por encima del eje \(X\), o toda ella por debajo del eje \(X\).

Por poner un ejemplo, resolvamos la inecuación \(x^2-3x+3>0\). Ahora el discriminante es menor que cero:

\[\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot3)9-12=-3\]

Esto quiere decir que la ecuación \(x^2-3x+3=0\) no tiene solución real y, por tanto, el polinomio \(x^2-3x+3\) no se puede factorizar. Hagamos el valor numérico del polinomio para cualquier valor real, por ejemplo, para \(x=4\):

\[4^2-3\cdot4+3=16-9+3=10>0\]

De aquí se deduce que la solución de la inecuación es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales. Gráficamente lo que quiere decir es que toda la parábola se encuentra por encima del eje \(X\).

Si la inecuación original fuese \(x^2-3x+3\geq0\) la solución seguiría siendo todo \(\mathbb{R}\). Sin embargo, si la inecuación original fuese de la forma \(x^2-3x+3<0\), o bien de la forma \(x^2-3x+3\leq0\), no habría solución para ninguna de ellas.

En un artículo de este mismo sitio Web se explica también esto mismo pero, además, se amplía para inecuaciones polinómicas de grado superior a dos (el procedimiento es prácticamente el mismo). Y en otro artículo, siguiendo también el mismo método, se detalla el procedimiento para resolver inecuaciones racionales (con la incógnita en el denominador). Espero que os sirvan.