Inecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas

Una inecuación lineal de primer grado con dos incógnitas es una desigualdad que puede presentar cualquiera de las cuatro formas siguientes:

\[ax+by+c>0\quad;\quad ax+by+c\geq0\]

\[ax+by+c<0\quad;\quad ax+by+c\leq0\]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, llamados coeficientes (\(a\neq0\)), y \(x\) e \(y\) son números desconocidos, llamados incógnitas. El objetivo es encontrar el conjunto de soluciones en el plano para las incógnitas \(x\) e \(y\). Es conocido que la representación gráfica de una ecuación del tipo \(ax+by+c=0\) es una recta en el plano. En este artículo se estudia este hecho con detalle.

Así, por ejemplo, no es nada difícil representar la recta \(2x-3y+5=0\). Basta tomar dos puntos de la misma y unirlos. Para hallar un punto de la recta basta dar un valor a \(x\) y despejar \(y\), o viceversa. Por ejemplo, si \(x=2\) tenemos, sustituyendo en la ecuación de la recta:

\[2\cdot2-3y+5=0\Rightarrow4-3y+5=0\Rightarrow-3y+9=0\Rightarrow-3y=-9\Rightarrow y=3\]

De este modo, un punto de la recta es el \((2,3)\). Si ahora tomamos por ejemplo, \(y=-1\), volviendo a sustituir en la ecuación de la recta tenemos:

\[2x-3\cdot(-1)+5=0\Rightarrow2x+3+5=0\Rightarrow2x+8=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 2x=-8\Rightarrow x=-4\]

Por tanto, otro punto de la recta es el \((-4,-1)\). Podemos ahora, efectivamente, representar ambos puntos en unos ejes de coordenadas y trazar la recta que los une, teniendo así la representación gráfica de la recta \(2x-3y+5=0\):

Obsérvese que la recta anterior (y cualquier otra), divide al plano en dos semiplanos. Pues bien, uno de los dos semiplanos es la solución de la inecuación correspondiente. Por ejemplo, si tenemos la inecuación \(2x-3y+5>0\), la solución es:

El hecho de dibujar la frontera de este semiplano (precisamente la recta \(2x-3y+5=0\)) de manera discontinua, viene a transmitir que los puntos de dicha recta no son solución de la inecuación. Esto es porque la desigualdad es estricta. Si la desigualdad no lo fuese, sí que entrarían en la solución todos los puntos de la recta. Dibujemos para ilustrarlo el semiplano solución de \(2x-3y+5\leq0\).

Hasta aquí todo bien pero, ¿cómo saber cuál de los dos semiplanos es la solución de la inecuación? El procedimiento es sencillo. Tomamos un punto que no esté en la recta y lo sustituimos en la ecuación de la misma. Si se verifica la desigualdad, el semiplano donde se encuentra el punto es la solución. Si no se verifica la desigualdad la solución es el semiplano contrario, el que no contiene al punto.

Hagamos otro ejemplo para ilustrar la idea. Supongamos que queremos resolver gráficamente la inecuación \(-x+6y-3\geq0\). En primer lugar representamos la recta \(-x+6y-3=0\), de manera parecida a como hemos hecho anteriormente. Dos puntos de esta recta son, por ejemplo, el \((-3,0)\) y el \(\left(0,\frac{1}{2}\right)\). Estos son los puntos de corte con los ejes \(X\) e \(Y\), y se utilizan mucho para representar rectas. Para hallar el punto de corte con el eje \(X\) se hace \(y=0\) y se despeja \(x\). De manera similar, para hallar el punto de corte con el eje \(Y\) se hace \(x=0\) y se despeja \(y\). Uniendo estos dos puntos tenemos la representación gráfica de la recta \(x-6y+3=0\). Tomamos ahora un punto que no esté en ella, por ejemplo el punto \((0,0)\). Este punto, el origen de coordenadas, es el que más se usa (siempre que la recta no pase por él) para comprobar cual de los dos semiplanos es la solución. Sustituyendo en la ecuación de la recta tenemos \(0+6\cdot0-3=-3<0\). Luego el punto \((0,0)\) no verifica la desigualdad, con lo que el semiplano solución es el que no contiene al punto \((0,0)\). Gráficamente:

Para finalizar vamos a resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Consideremos el siguiente sistema:

\[\begin{cases}
3x+2y\leq12\\
x+2y\leq10\\
x\geq0\\
y\geq0
\end{cases}\]

Hemos de representar el semiplano solución de cada inecuación. La solución del sistema será la intersección o parte común de los cuatro semiplanos solución. Por cierto, la solución gráfica de la inecuación \(x\geq0\) se corresponde claramente con el semiplano que está a la derecha del eje \(Y\). Análogamente, la solución gráfica de la inecuación \(y\geq0\) es el semiplano que está por encima del eje \(X\). Las dos juntas se corresponden por tanto con el primer cuadrante. Esto quiere decir que la solución del sistema, sea la que sea, será una figura que se encuentre en el primer cuadrante. Este tipo de sistemas son muy comunes en los problemas de programación lineal. En las dos siguientes figuras puedes ver, en la primera, los cuatro semiplanos correspondientes a cada una de las inecuaciones y, en la segunda, la solución gráfica final del sistema (recinto solución), una vez analizamos la parte común a las cuatro inecuaciones.

No es demasiado complicado reconocer el recinto solución pues es la parte común o intersección de los cuatro semiplanos de la figura anterior (la parte más oscura, donde coinciden los cuatro colores). Si aislamos tal recinto queda así.