Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que aparecen razones trigonométricas, cierta para cualquier valor de la variable o parte literal.

Las identidades trigonométricas más conocidas son la fórmula fundamental de la trigonometría y la identidad que relaciona las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Son, respectivamente, las siguientes:

\[\text{sen}^2x+\cos^2x=1\quad;\quad \text{tg}\,x=\frac{\text{sen}\,x}{\cos x}\]

Las razones trigonométricas secante, cosecante y cotangente son, por definición, las siguientes identidades trigonométricas:

\[\sec x=\frac{1}{\cos x}\quad;\quad\text{cosec}\,x=\frac{1}{\text{sen}\,x}\quad;\quad\text{cotg}\,x=\frac{1}{\text{tg}\,x}=\frac{\cos x}{\text{sen}\,x}\]

Si todos los términos de la fórmula fundamental de la trigonometría los dividimos, respectivamente, entre \(\text{sen}^2x\) y \(\cos^2x\) obtenemos otras dos identidades trigonométricas que relacionan cotangente y cosecante por un lado, y tangente y secante por otro.

\[1+\text{cotg}^2x=\text{cosec}^2x\quad;\quad1+\text{tg}^2x=\sec^2x\]

Estas últimas identidades también se pueden escribir así:

\[1+\frac{1}{\text{tg}^2x}=\frac{1}{\text{sen}^2x}\quad;\quad1+\text{tg}^2x=\frac{1}{\cos^2x}\]

Esta forma de reescribirlas permite tener identidades que relacionen la tangente y el seno, y la tangente y el coseno.

Hay muchas otras identidades o fórmulas trigonométricas que se deducen y se aprenden en un primer curso de bachillerato. Nos referimos al seno, coseno y tangente de la suma, de la diferencia, del ángulo doble y del ángulo mitad. También hay una serie de fórmulas trigonométricas para transformar sumas o diferencias de senos y cosenos en productos. Todas estas identidades las puedes encontrar, junto con su demostración, en un artículo dedicado a las fórmulas trigonométricas.

El uso de las identidades o fórmulas trigonométricas mencionadas anteriormente permite demostrar otras. Uno de los estándares de aprendizaje de las matemáticas en bachillerato es demostrar identidades trigonométricas usando las fórmulas y transformaciones habituales (que son, precisamente, las que se han mencionado anteriormente). Como ejemplo, imaginemos que nos piden demostrar la siguiente identidad trigonométrica:

\[\frac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{1+\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{1+\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}\]

Un método consiste en desarrollar uno de los miembros de la igualdad para, en una serie de pasos encadenando igualdades, llegar al otro miembro de la igualdad. En este caso, si desarrollamos el miembro de la izquierda usando las fórmulas del coseno de la suma y de la diferencia, tenemos:

\[\frac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}=\]

Si dividimos el numerador y el denominador de la última fracción entre \(\cos\alpha\cos\beta\) tenemos:

\[=\frac{\frac{\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}= \frac{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}- \frac{\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}=\]

\[\frac{1+\frac{\text{sen}\,\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\text{sen}\,\beta}{\cos\beta}} {1+\frac{\text{sen}\,\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\text{sen}\,\beta}{\cos\beta}}=\frac{1+\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{1+\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}\]

Esto finaliza la demostración de la identidad trigonométrica porque partiendo del primer miembro hemos llegado, en pasos sucesivos y de manera razonada, al segundo miembro de la identidad.

Vamos a proponer como ejercicio que se demuestren varias identidades trigonométricas. Al final daremos la solución de cada una de ellas.

Ejercicio 1

Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:

\[\text{a) }\cos\alpha\cos(\alpha-\beta)+\text{sen}\,\alpha\text{sen}(\alpha-\beta)=\cos\beta\]

\[\text{b) }\text{sen}^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)- \text{sen}^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\text{sen}\,\alpha\text{sen}\,\beta\]

\[\text{c) }\text{sen}\,3x=3\text{sen}\,x\cos^2x-\text{sen}^3x\]

\[\text{d) }\frac{2\text{sen}\,x-\text{sen}\,2x}{2\text{sen}\,x+\text{sen}\,2x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\]

\[\text{e) }\frac{\cos x+\text{sen}\,x}{\cos x-\text{sen}\,x}-\frac{\cos x-\text{sen}\,x}{\cos x+\text{sen}\,x}=2\text{tg}\,2x\]

\[\text{f) }1-\frac{1}{2}\text{sen}\,2x=\frac{\text{sen}^3x+\cos^3x}{\text{sen}\,x+\cos x}\]

Solución del apartado a)

Usamos las fórmulas del seno y del coseno de la diferencia:

\[\cos\alpha\cos(\alpha-\beta)+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}(\alpha-\beta)=\]

\[=\cos\alpha(\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta)+\text{sen}\,\alpha(\text{sen}\,\alpha\cos\beta-\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta)=\]

\[=\cos^2\alpha\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta+\text{sen}^2\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta=\]

\[=(\cos^2\alpha+\text{sen}^2\alpha)\cos\beta=1\cdot\cos\beta=\cos\beta\]

Solución del apartado b)

Usamos las fórmulas del seno del ángulo mitad y luego las fórmulas del coseno de la suma y de la diferencia:

\[\text{sen}^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)- \text{sen}^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\frac{1-\cos(\alpha+\beta)}{2}-\frac{1-\cos(\alpha-\beta)}{2}=\]

\[=\frac{1-\cos(\alpha+\beta)-1+\cos(\alpha-\beta)}{2}=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}=\]

\[=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta-\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}{2}=\]

\[\frac{2\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}{2}=\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

Solución del apartado c)

Ponemos \(\text{sen}\,3x=\text{sen}(2x+x)\) y usamos la fórmula del seno de la suma. Luego usamos las fórmulas del seno y del coseno del ángulo doble.

\[\text{sen}\,3x=\text{sen}(2x+x)=\text{sen}\,2x\cos x+\cos2x\text{sen}\,x=\]

\[=2\text{sen}\,x\cos x\cos x+(\cos^2x-\text{sen}^2x)\text{sen}\,x=\]

\[2\text{sen}\,x\cos^2x+\text{sen}\,x\cos^2x-\text{sen}^3x=3\text{sen}\,x\cos^2x-\text{sen}^3x\]

Solución del apartado d)

Este es muy fácil haciendo uso de la fórmula del seno del ángulo doble:

\[\frac{2\text{sen}\,x-\text{sen}\,2x}{2\text{sen}\,x+\text{sen}\,2x}=\frac{2\text{sen}\,x-2\text{sen}\,x\cos x}{2\text{sen}\,x+2\text{sen}\,x\cos x}=\frac{2\text{sen}\,x(1-\cos x)}{2\text{sen}\,x(1+\cos x)}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\]

Solución del apartado e)

Demostraremos esta identidad trigonométrica restando las dos fracciones del primer miembro y luego usando algunas fórmulas trigonométricas.

\[\frac{\cos x+\text{sen}\,x}{\cos x-\text{sen}\,x}-\frac{\cos x-\text{sen}\,x}{\cos x+\text{sen}\,x}=\frac{(\cos x+\text{sen}\,x)^2-(\cos x-\text{sen}\,x)^2}{(\cos x-\text{sen}\,x)(\cos x+\text{sen}\,x)}=\]

\[=\frac{\cos^2x+2\text{sen}\,x\cos x+\text{sen}^2x-(\cos^2x-2\text{sen}\,x\cos x+\text{sen}^2x)}{\cos^2x-\text{sen}^2x}=\]

\[=\frac{1+2\text{sen}\,x\cos x-1+2\text{sen}\,x\cos x}{\cos^2x-\text{sen}^2x}=\frac{\text{sen}\,2x+\text{sen}\,2x}{\cos2x}=\]

\[=\frac{2\text{sen}\,2x}{\cos2x}=2\text{tg}\,2x\]

Solución del apartado f)

Demostrar la identidad

\[1-\frac{1}{2}\text{sen}\,2x=\frac{\text{sen}^3x+\cos^3x}{\text{sen}\,x+\cos x}\]

es lo mismo que demostrar la siguiente identidad

\[(\text{sen}\,x+\cos x)\left(1-\frac{1}{2}\text{sen}\,2x\right)=\text{sen}^3x+\cos^3x\]

Demostraremos pues esta última.

\[(\text{sen}\,x+\cos x)\left(1-\frac{1}{2}\text{sen}\,2x\right)=(\text{sen}\,x+\cos x)\left(1-\frac{1}{2}2\,\text{sen}\,x\cos x\right)=\]

\[=(\text{sen}\,x+\cos x)(1-\text{sen}\,x\cos x)=\]

\[=\text{sen}\,x-\text{sen}^2x\cos x+\cos x-\text{sen}\,x\cos^2x=\]

\[=\text{sen}\,x-(1-\cos^2x)\cos x+\cos x-\text{sen}\,x(1-\text{sen}^2x)=\]

\[=\text{sen}\,x-\cos x+\cos^3x+\cos x-\text{sen}\,x+\text{sen}^3x=\text{sen}^3x+\cos^3x\]

Además de la demostración de identidades trigonométricas, también es habitual, en un primer curso de bachillerato, pedir la simplificación de expresiones algebraicas que contengan razones trigonométricas (abreviadamente expresiones trigonométricas). La ventaja que tiene lanzarse a la demostración de una identidad trigonométrica, como es el caso de cualquiera de las anteriores, es que sabemos dónde queremos llegar. Conocemos los dos miembros de la igualdad y, partiendo de uno, sabemos que tenemos que llegar al otro. Es más, podemos simplificar ambos términos. Si llegamos a la misma expresión, tendremos demostrada la identidad. Esto no ocurre si nos piden simplificar una expresión trigonométrica. En este caso vamos «a ciegas»: partimos de una expresión y la vamos transformando usando nuestras fórmulas trigonométricas hasta que consideremos que está adecuadamente simplificada. Imaginemos que nos piden simplificar la siguiente expresión:

\[\frac{\text{sen}\,2\alpha}{1-\cos^2\alpha}\]

Haciendo uso de la fórmula del seno del ángulo doble y de la fórmula fundamental de la trigonometría podremos transformarla y simplificarla:

\[\frac{\text{sen}\,2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\frac{2\text{sen}\,\alpha\cos\alpha}{\text{sen}^2\alpha}=\frac{2\cos\alpha}{\text{sen}\,\alpha}=2\text{cotg}\,\alpha\]

Vamos a proponer como ejercicio la simplificación de algunas expresiones trigonométricas. También daremos la solución de cada una de ellas.

Ejercicio 2

Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas:

\[\text{a) }\frac{2\cos(45^{\circ}+\alpha)\cos(45^{\circ}-\alpha)}{\cos2\alpha}\quad;\quad\text{b) }\frac{\text{sen}^2\alpha} {1-\cos\alpha} \left(1+\text{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right)\]

\[\text{c) }\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{cotg}\,\alpha}{\text{tg}\,\alpha+\text{cosec}\,\alpha}\quad;\quad\text{d) }2\text{tg}\,\alpha\cos^2\frac{\alpha}{2}-\text{sen}\,\alpha\]

\[\text{e) }\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{sen}\,2\alpha}{1+\cos\alpha+\cos2\alpha}\quad;\quad\text{f) }\frac{\sec^2x}{1-\text{tg}^2x}\]

Solución del apartado a)

Usamos las fórmulas del coseno de la suma y del coseno de la diferencia, y la fórmula del coseno del ángulo doble:

\[\frac{2\cos(45^{\circ}+\alpha)\cos(45^{\circ}-\alpha)}{\cos2\alpha}=\]

\[=\frac{2(\cos45^{\circ}\cos\alpha-\text{sen}\,45^{\circ}\text{sen}\,\alpha) (\cos45^{\circ}\cos\alpha+\text{sen}\,45^{\circ}\text{sen}\,\alpha)}{\cos^2\alpha-\text{sen}^2\alpha}=\]

Ahora usamos la conocida igualdad notable «suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados» y que \(\text{sen}\,45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), con lo que \(\text{sen}^245^{\circ}=\cos^245^{\circ}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\):

\[=\frac{2(\cos^245^{\circ}\cos^2\alpha-\text{sen}^245^{\circ}\text{sen}^2\alpha)}{\cos^2\alpha-\text{sen}^2\alpha}=\frac{2(\frac{1}{2}\cos^2\alpha-\frac{1}{2}\text{sen}^2\alpha)} {\cos^2\alpha-\text{sen}^2\alpha}=\]

\[=\frac{\cos^2\alpha-\text{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha-\text{sen}^2\alpha}=1\]

Solución del apartado b)

Usaremos ahora la fórmula de la tangente del ángulo mitad:

\[\frac{\text{sen}^2\alpha} {1-\cos\alpha} \left(1+\text{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\text{sen}^2\alpha} {1-\cos\alpha}\left(1+\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\right)=\]

\[=\frac{\text{sen}^2\alpha} {1-\cos\alpha}\left(\frac{1+\cos\alpha+1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\right)=\]

\[=\frac{\text{sen}^2\alpha} {1-\cos\alpha}\cdot\frac{2}{1+\cos\alpha}=\frac{2\text{sen}^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\frac{2\text{sen}^2\alpha}{\text{sen}^2\alpha}=2\]

Solución del apartado c)

\[\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{cotg}\,\alpha}{\text{tg}\,\alpha+\text{cosec}\,\alpha}=\frac{\text{sen}\,\alpha+\frac{\cos\alpha}{\text{sen}\,\alpha}}{\frac{\text{sen}\,\alpha}{\cos\alpha}+\frac{1}{\text{sen}\,\alpha}}= \frac{\frac{\text{sen}^2\alpha+\cos\alpha}{\text{sen}\,\alpha}}{\frac{\text{sen}^2\alpha+\cos\alpha}{\text{sen}\,\alpha\cos\alpha}}=\]

\[\frac{\text{sen}\,\alpha\cos\alpha(\text{sen}^2\alpha+\cos\alpha)} {\text{sen}\,\alpha(\text{sen}^2\alpha+\cos\alpha)}=\cos\alpha\]

Solución del apartado d)

Usaremos la fórmula del coseno del ángulo mitad:

\[2\text{tg}\,\alpha\cos^2\frac{\alpha}{2}-\text{sen}\,\alpha=2\cdot\frac{\text{sen}\,\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{1+\cos\alpha}{2}-\text{sen}\,\alpha=\]

\[=\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{sen}\,\alpha\cos\alpha} {\cos\alpha}-\text{sen}\,\alpha=\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{sen}\,\alpha\cos\alpha-\text{sen}\,\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha}=\]

\[=\frac{\text{sen}\,\alpha}{\cos\alpha}=\text{tg}\,\alpha\]

Solución del apartado e)

Haremos uso de las fórmulas del seno y del coseno del ángulo doble, así como de la fórmula fundamental de la trigonometría:

\[\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{sen}\,2\alpha}{1+\cos\alpha+\cos2\alpha}=\frac{\text{sen}\,\alpha+2\text{sen}\,\alpha\cos\alpha}{1+\cos\alpha+\cos^2\alpha-\text{sen}^2\alpha}=\]

\[\frac{\text{sen}\,\alpha+2\text{sen}\,\alpha\cos\alpha}{1+\cos\alpha+\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)}=\frac{\text{sen}\,\alpha+2\text{sen}\,\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha+2\cos^2\alpha}=\]

\[=\frac{\text{sen}\,\alpha(1+2\cos\alpha)}{\cos\alpha(1+2\cos\alpha)}=\frac{\text{sen}\,\alpha}{\cos\alpha}=\text{tg}\,\alpha\]

Solución del apartado f)

\[\frac{\sec^2x}{1-\text{tg}^2x}=\frac{\frac{1}{\cos^2x}}{\frac{\text{sen}^2x}{\cos^2x}}=\frac{\cos^2x}{\text{sen}^2x\cos^2x}=\frac{1}{\text{sen}^2x}=\text{cosec}^2x\]