Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Propongo un par de problemas donde se pide demostrar un par de cosas relacionadas con números. El nivel es de Matemáticas I (1º de Bachillerato Ciencias y Tecnología). Se trata de pensar, de razonar, de involucrarse con el problema matemático hasta que uno ve la idea con la que poder atacarlo.
Animo a mis alumnos de 1º de Bachillerato a que lo intenten. Bueno, y a cualquier otra persona.
En todo caso, si después de intentarlo no te sale, puedes ver las soluciones debajo del enunciado de cada problema.
Problema 1
Demuestra que la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) da como resultado un número entero. Calcula su valor.
La solución aquí
La solución aquí
Elevemos la expresión al cuadrado:
\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=\]
\[=\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2+2\cdot\sqrt{6+4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\]
\[=6+4\sqrt{2}+6-4\sqrt{2}+2\cdot\sqrt{\left(6+4\sqrt{2}\right)\cdot\left(6+4\sqrt{2}\right)}=\]
\[=12+2\cdot\sqrt{6^2-\left(4\sqrt{2}\right)^2}=12+2\cdot\sqrt{36-16\cdot2}=12+2\cdot\sqrt{36-32}=\]
\[=12+2\cdot\sqrt{4}=12+2\cdot2=12+4=16\]
Por tanto hemos llegado a la siguiente conclusión:
\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=16\]
Extrayendo raíces cuadradas en ambos miembros de la igualdad tenemos:
\[\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}=4\]
Y hemos demostrado que, efectivamente, la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) es un número entero, en concreto el número \(4\).
Problema 2
Dados dos números reales positivos diferentes, demuestra que el producto de su suma por la suma de sus inversos es mayor que 4.
La solución aquí
La solución aquí
Sean \(x\,,y\in\mathbb{R}\) con \(x>0\), e \(y>0\) y \(x\neq y\). Entonces puesto que el cuadradado un número distinto de cero es mayor que cero y \(x-y\neq0\), tenemos que \((x-y)^2>0\). Desarrollando la igualdad notable y dejándonos llevar un poco:
\[x^2-2xy+y^2>0\Rightarrow x^2+y^2>2xy \Rightarrow \frac{x^2+y^2}{xy}>2 \Rightarrow \]
\[\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2 \Rightarrow 1+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1>4 \Rightarrow \]
\[\Rightarrow (x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)>4 \]
Justamente lo que queríamos demostrar.
