Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Propongo un par de problemas donde se pide demostrar un par de cosas relacionadas con números. El nivel es de Matemáticas I (1º de Bachillerato Ciencias y Tecnología). Se trata de pensar, de razonar, de involucrarse con el problema matemático hasta que uno ve la idea con la que poder atacarlo.
Animo a mis alumnos de 1º de Bachillerato a que lo intenten. Bueno, y a cualquier otra persona.
En todo caso, si después de intentarlo no te sale, puedes ver las soluciones debajo del enunciado de cada problema.
Problema 1
Demuestra que la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) da como resultado un número entero. Calcula su valor.
La solución aquí
La solución aquí
Elevemos la expresión al cuadrado:
\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=\]
\[=\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2+2\cdot\sqrt{6+4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\]
\[=6+4\sqrt{2}+6-4\sqrt{2}+2\cdot\sqrt{\left(6+4\sqrt{2}\right)\cdot\left(6+4\sqrt{2}\right)}=\]
\[=12+2\cdot\sqrt{6^2-\left(4\sqrt{2}\right)^2}=12+2\cdot\sqrt{36-16\cdot2}=12+2\cdot\sqrt{36-32}=\]
\[=12+2\cdot\sqrt{4}=12+2\cdot2=12+4=16\]
Por tanto hemos llegado a la siguiente conclusión:
\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=16\]
Extrayendo raíces cuadradas en ambos miembros de la igualdad tenemos:
\[\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}=4\]
Y hemos demostrado que, efectivamente, la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) es un número entero, en concreto el número \(4\).
Problema 2
Dados dos números reales positivos diferentes, demuestra que el producto de su suma por la suma de sus inversos es mayor que 4.
