Funciones polinómicas

Una función polinómica, como su nombre indica, está definida mediante un polinomio, es decir:

\[f(x)=a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\]

Es fácil darse cuenta de que el dominio de una función polinómica es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, ya que tiene sentido sustituir la variable \(x\) por cualquier número real para obtener su imagen \(f(x)\). O sea, si \(f\) es una función polinómica, entonces \(\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}\).

No hay ningún problema tampoco en admitir que toda función polinómica es continua, es decir, su gráfica se puede dibujar «sin levantar el lápiz del papel». Desde el punto de vista matemático esto quiere decir que el límite de la función en todo punto es igual que la imagen de la función en ese punto. Simbólicamente, si \(f\) es una función polinómica y \(a\in\mathbb{R}\), entonces

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]

Casos particulares de funciones polinómicas son la función lineal y la función cuadrática.

Nos planteamos el problema de dibujar la gráfica de una función polinómica. Puesto que un polinomio de grado \(n\) tiene a los sumo \(n\) raíces reales, toda función polinómica cortará, a lo sumo, en \(n\) puntos al eje \(X\). Hallar estos puntos de corte no es nada fácil si el polinomio es de grado mayor o igual que tres. Pero sí afirmaremos que toda función polinómica de grado \(n\) se «dobla» o se «pliega» a lo sumo, \(n-1\) veces. Además, el punto de corte con el eje \(Y\) siempre será \((0,a_0)\), donde \(a_0\) es el término independiente del polinomio. Por otro lado, todas las funciones polinómicas se comportan de manera similar en el infinito, ya que:

\[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}a_nx^n=\pm\infty\]

Lo anterior quiere decir que, si dibujásemos la gráfica de una función polinómica de izquierda a derecha, la misma procedería de más o menos infinito y se alejaría hacia más o menos infinito. Es decir, las funciones polinómicas presentan ramas infinitas en más o menos infinito. ¿Qué hacen «entre medias»? Bueno, pues dependiendo del número de veces que «toquen» al eje \(X\) y del número de máximos o mínimos relativos que posean, tendrán comportamientos diversos. Veamos algunos ejemplos.

La función polinómica de grado tres más sencilla es \(f(x)=x^3\), que corta al eje \(X\) únicamente en el origen de coordenadas. Además, es una función impar pues \(f(-x)=-f(x)\), lo que quiere decir que es simétrica respecto del origen de coordenadas. Es fácil obtener su gráfica:

Obsérvese que la función «procede» de menos infinito y se «dirige hacia» más infinito ya que, respectivamente, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3=+\infty\).

Hagamos otro ejemplo. Consideremos la función \(f(x)=-3x^3+2x\). En este caso es fácil hallar los puntos de corte con los ejes:

\[-3x^3+2x=0\Leftrightarrow x(-3x^2+2)=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0,816\\x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\approx-0,816\end{cases}\]

Además

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3)=+\infty\]

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3)=-\infty\]

De lo anterior deducimos que la función procede de más infinito, corta al eje \(X\) en \(-0,816\), \(0\), \(0,816\); y se escapa hacia menos infinito. Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que es de grado tres, tendrá que «doblarse» dos veces y podremos dibujar aproximadamente su gráfica. De hecho la gráfica es la siguiente:

Consideremos por último la función polinómica \(f(x)=-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1\). ¿Qué podemos decir de ella? Primero, que procede de menos infinito y se dirige también hacia menos infinito ya que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=-\infty\). Segundo, que pasa por el punto \((0,1)\). Y tercero, que de lo anterior se deduce que debe cortar al eje \(X\) en, al menos, dos puntos. Lógico, ¿no? De hecho corta al eje \(X\) en, exactamente, dos puntos, pues la ecuación \(-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1=0\) tiene exactamente dos soluciones reales (WolframAlpha se encarga de facilitarnos el trabajo). La gráfica queda así:

El teorema de los ceros de Bolzano y el estudio de la monotonía y de los extremos de una función polinómica usando las derivadas (contenidos que se aprenden en 2º de Bachillerato), nos permitirá dibujar con ciertas garantías las funciones polinómicas de grado tres, incluso de grado cuatro. Para las funciones polinómicas de grado superior no podremos sino atisbar cómo podría ser su gráfica usando los métodos anteriores y haciendo una tabla de valores lo suficientemente grande. Menos mal que disponemos de potentes programas de representación gráfica de funciones para visualizar cualquier función polinómica, por ejemplo, desmos, con el que se han hecho las gráficas que aparecen en este artículo. Esto, en mis tiempos de estudiante de Bachillerato era, sencillamente, imposible.